Номер 1491, страница 208, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1491. Решите системы уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = \frac{3x + 2y}{4} + 3, \\ 3(x - y) - 6 = \frac{x + 5y}{7}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - y = \frac{3x + y}{8} + 10, \\ x + 4y = \frac{x + 5y}{2} + 16. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{3x + 2y}{4} + 3 \\ 3(x - y) - 6 = \frac{x + 5y}{7} \end{cases}$

Для начала упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Для первого уравнения домножим обе части на 4:

$4(x + y) = 4\left(\frac{3x + 2y}{4}\right) + 4 \cdot 3$

$4x + 4y = 3x + 2y + 12$

Сгруппируем переменные в левой части уравнения, а константы в правой:

$4x - 3x + 4y - 2y = 12$

$x + 2y = 12$

Теперь упростим второе уравнение. Домножим обе части на 7:

$7(3(x - y) - 6) = 7\left(\frac{x + 5y}{7}\right)$

$21(x - y) - 42 = x + 5y$

$21x - 21y - 42 = x + 5y$

Сгруппируем переменные в левой части, а числа — в правой:

$21x - x - 21y - 5y = 42$

$20x - 26y = 42$

Можно упростить это уравнение, разделив все его члены на 2:

$10x - 13y = 21$

В результате мы получили эквивалентную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 12 \\ 10x - 13y = 21 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $\text{x}$:

$x = 12 - 2y$

Подставим полученное выражение для $\text{x}$ во второе уравнение:

$10(12 - 2y) - 13y = 21$

$120 - 20y - 13y = 21$

$120 - 33y = 21$

$-33y = 21 - 120$

$-33y = -99$

$y = \frac{-99}{-33} = 3$

Теперь, зная $\text{y}$, найдем $\text{x}$:

$x = 12 - 2y = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(6; 3)$.

Ответ: $(6; 3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = \frac{3x + y}{8} + 10 \\ x + 4y = \frac{x + 5y}{2} + 16 \end{cases}$

Упростим оба уравнения, избавившись от дробей.

В первом уравнении домножим обе части на 8:

$8(2x - y) = 8\left(\frac{3x + y}{8}\right) + 8 \cdot 10$

$16x - 8y = 3x + y + 80$

Перенесем все члены с переменными в левую часть, а числа — в правую:

$16x - 3x - 8y - y = 80$

$13x - 9y = 80$

Во втором уравнении домножим обе части на 2:

$2(x + 4y) = 2\left(\frac{x + 5y}{2}\right) + 2 \cdot 16$

$2x + 8y = x + 5y + 32$

Снова перенесем все члены с переменными в левую часть, а числа — в правую:

$2x - x + 8y - 5y = 32$

$x + 3y = 32$

Теперь решаем полученную систему:

$\begin{cases} 13x - 9y = 80 \\ x + 3y = 32 \end{cases}$

Удобно применить метод подстановки. Из второго уравнения выразим $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = 32 - 3y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$13(32 - 3y) - 9y = 80$

$416 - 39y - 9y = 80$

$416 - 48y = 80$

$-48y = 80 - 416$

$-48y = -336$

$y = \frac{-336}{-48} = 7$

Теперь найдем соответствующее значение $\text{x}$:

$x = 32 - 3y = 32 - 3 \cdot 7 = 32 - 21 = 11$

Следовательно, решение системы — пара чисел $(11; 7)$.

Ответ: $(11; 7)$.