Номер 1498, страница 209, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Составьте систему уравнений и решите ее способом сложения (1492–1498).

1498. Даны два прямоугольника. Ширина первого прямоугольника 7 см, а ширина второго 13 см. Сумма их площадей равна 146 $см^2$. Ширину первого прямоугольника увеличили в 3 раза, а ширину второго уменьшили на 5 см. Сумма площадей двух прямоугольников стала на 44 $см^2$ больше, чем первоначальная их сумма. Найдите длину каждого прямоугольника.

1498. Пусть $\text{x}$ см — длина первого прямоугольника, а $\text{y}$ см — длина второго прямоугольника.

По условию, ширина первого прямоугольника равна 7 см, а второго — 13 см. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Тогда площадь первого прямоугольника составляет $S_1 = 7x$ см², а площадь второго — $S_2 = 13y$ см². Сумма их площадей равна 146 см², на основе чего мы можем составить первое уравнение:

$7x + 13y = 146$

Далее, ширину первого прямоугольника увеличили в 3 раза, и она стала $7 \cdot 3 = 21$ см. Длина осталась прежней, поэтому новая площадь первого прямоугольника стала $S'_1 = 21x$ см². Ширину второго прямоугольника уменьшили на 5 см, и она стала $13 - 5 = 8$ см. Новая площадь второго прямоугольника стала $S'_2 = 8y$ см². Сумма площадей двух новых прямоугольников стала на 44 см² больше, чем первоначальная их сумма, то есть $146 + 44 = 190$ см². Составим второе уравнение:

$21x + 8y = 190$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 7x + 13y = 146, \\ 21x + 8y = 190. \end{cases} $$

Решим эту систему способом сложения. Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при переменной $\text{x}$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} -3(7x + 13y) = -3 \cdot 146, \\ 21x + 8y = 190. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -21x - 39y = -438, \\ 21x + 8y = 190. \end{cases} $$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(-21x - 39y) + (21x + 8y) = -438 + 190$

$-31y = -248$

Найдем $\text{y}$:

$y = \frac{-248}{-31}$

$y = 8$

Теперь подставим найденное значение $y=8$ в первое уравнение исходной системы $7x + 13y = 146$, чтобы найти $\text{x}$:

$7x + 13 \cdot 8 = 146$

$7x + 104 = 146$

$7x = 146 - 104$

$7x = 42$

$x = \frac{42}{7}$

$x = 6$

Следовательно, длина первого прямоугольника составляет 6 см, а длина второго прямоугольника — 8 см.

Ответ: длина первого прямоугольника — 6 см, длина второго прямоугольника — 8 см.