Номер 1490, страница 208, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Найдите решение систем уравнений (1489, 1490).

1490. 1)

$\begin{cases} \frac{x+4y}{9} - \frac{x-2y}{3} = 0, \\ \frac{x+7y}{4} + \frac{x+y}{6} = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+2y}{10} - \frac{x+4y}{3} = -8, \\ \frac{2x-3y}{2} - \frac{x+y}{6} = 0. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+4y}{9} - \frac{x-2y}{3} = 0 \\ \frac{x+7y}{4} + \frac{x+y}{6} = 4 \end{cases} $

Для начала упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Для этого умножим каждое уравнение на наименьшее общее кратное его знаменателей.

Упростим первое уравнение. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 это 9. Умножим обе части уравнения на 9:

$ 9 \cdot \frac{x+4y}{9} - 9 \cdot \frac{x-2y}{3} = 9 \cdot 0 $

$ (x+4y) - 3(x-2y) = 0 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ x+4y - 3x + 6y = 0 $

$ -2x + 10y = 0 $

Разделим уравнение на -2, чтобы упростить его:

$ x - 5y = 0 $, откуда выразим $\text{x}$: $ x = 5y $.

Теперь упростим второе уравнение. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 это 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot \frac{x+7y}{4} + 12 \cdot \frac{x+y}{6} = 12 \cdot 4 $

$ 3(x+7y) + 2(x+y) = 48 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3x + 21y + 2x + 2y = 48 $

$ 5x + 23y = 48 $

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$ \begin{cases} x = 5y \\ 5x + 23y = 48 \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $\text{x}$ из первого уравнения во второе:

$ 5(5y) + 23y = 48 $

$ 25y + 23y = 48 $

$ 48y = 48 $

$ y = 1 $

Теперь, зная значение $\text{y}$, найдем $\text{x}$, подставив $y=1$ в уравнение $x=5y$:

$ x = 5 \cdot 1 = 5 $

Решением системы является пара чисел $(5; 1)$.

Ответ: $ (5; 1) $.

2) Рассмотрим вторую систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+2y}{10} - \frac{x+4y}{3} = -8 \\ \frac{2x-3y}{2} - \frac{x+y}{6} = 0 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение системы, умножив его на общий знаменатель.

Для первого уравнения общий знаменатель 10 и 3 равен 30. Умножим обе части на 30:

$ 30 \cdot \frac{x+2y}{10} - 30 \cdot \frac{x+4y}{3} = 30 \cdot (-8) $

$ 3(x+2y) - 10(x+4y) = -240 $

Раскроем скобки:

$ 3x + 6y - 10x - 40y = -240 $

$ -7x - 34y = -240 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ 7x + 34y = 240 $

Для второго уравнения общий знаменатель 2 и 6 равен 6. Умножим обе части на 6:

$ 6 \cdot \frac{2x-3y}{2} - 6 \cdot \frac{x+y}{6} = 6 \cdot 0 $

$ 3(2x-3y) - (x+y) = 0 $

Раскроем скобки:

$ 6x - 9y - x - y = 0 $

$ 5x - 10y = 0 $

Разделим уравнение на 5:

$ x - 2y = 0 $, откуда $ x = 2y $.

Мы получили эквивалентную систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 34y = 240 \\ x = 2y \end{cases} $

Снова используем метод подстановки. Подставим $x = 2y$ в первое уравнение:

$ 7(2y) + 34y = 240 $

$ 14y + 34y = 240 $

$ 48y = 240 $

$ y = \frac{240}{48} = 5 $

Теперь найдем $\text{x}$, подставив $y=5$ в уравнение $x=2y$:

$ x = 2 \cdot 5 = 10 $

Решением системы является пара чисел $(10; 5)$.

Ответ: $ (10; 5) $.