Номер 343, страница 107, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

343. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пристанями А и В по течению реки за $6 \text{ ч}$, а против течения – за $8 \text{ ч}$. Скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

Каково расстояние между двумя пристанями?

Определите собственную скорость моторной лодки.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $\text{S}$ – расстояние между пристанями в км.
• $v_{л}$ – собственная скорость моторной лодки в км/ч.

Известные из условия данные:

• $v_{т} = 3$ км/ч – скорость течения реки.
• $t_{по} = 6$ ч – время в пути по течению.
• $t_{пр} = 8$ ч – время в пути против течения.

Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{л} + v_{т}$.

Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_{л} - v_{т}$.

Расстояние $\text{S}$ можно выразить через скорость и время для обоих случаев:

1. По течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_{л} + v_{т}) \cdot t_{по}$

2. Против течения: $S = v_{пр} \cdot t_{пр} = (v_{л} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

Поскольку расстояние $\text{S}$ в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять правые части этих уравнений, чтобы найти сначала собственную скорость лодки, а затем и расстояние.

Каково расстояние между двумя пристанями?

Чтобы найти расстояние $\text{S}$, сначала необходимо определить собственную скорость лодки $v_{л}$. Как показано в решении следующего пункта, для этого составляется и решается уравнение $6(v_{л} + 3) = 8(v_{л} - 3)$, из которого следует, что $v_{л} = 21$ км/ч.

Теперь, зная собственную скорость лодки, мы можем вычислить расстояние, подставив это значение в любую из формул для $\text{S}$. Воспользуемся формулой для движения по течению:

$S = (v_{л} + v_{т}) \cdot t_{по}$

$S = (21 + 3) \cdot 6 = 24 \cdot 6 = 144$ км.

Для проверки выполним расчет для движения против течения:

$S = (v_{л} - v_{т}) \cdot t_{пр}$

$S = (21 - 3) \cdot 8 = 18 \cdot 8 = 144$ км.

Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: расстояние между двумя пристанями 144 км.

Определите собственную скорость моторной лодки.

Мы приравняли выражения для расстояния, пройденного по течению и против течения: $(v_{л} + v_{т}) \cdot t_{по} = (v_{л} - v_{т}) \cdot t_{пр}$.

Подставим в это уравнение известные значения ($v_{т}=3$, $t_{по}=6$, $t_{пр}=8$):

$(v_{л} + 3) \cdot 6 = (v_{л} - 3) \cdot 8$

Раскроем скобки:

$6v_{л} + 18 = 8v_{л} - 24$

Сгруппируем слагаемые с $v_{л}$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$18 + 24 = 8v_{л} - 6v_{л}$

$42 = 2v_{л}$

Отсюда находим $v_{л}$:

$v_{л} = \frac{42}{2} = 21$ км/ч.

Ответ: собственная скорость моторной лодки 21 км/ч.