Номер 37, страница 24, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

37. Решите уравнение:

1) $ \frac{1}{x} + \frac{1}{1\frac{2}{3}x} = \frac{2}{5}; $

2) $ \frac{3}{1\frac{1}{5}x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}; $

3) $ \frac{4}{1\frac{1}{3}x} + \frac{1}{2x} = 0,7. $

Выберите ответы:

A. 2; B. 5; C. 3; D. 4.

1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{1\frac{2}{3}x} = \frac{2}{5}$

Сначала преобразуем смешанное число в знаменателе в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Тогда уравнение примет вид: $\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{5}{3}x} = \frac{2}{5}$.

Упростим второе слагаемое: $\frac{1}{\frac{5x}{3}} = \frac{3}{5x}$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{1}{x} + \frac{3}{5x} = \frac{2}{5}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $5x$: $\frac{5}{5x} + \frac{3}{5x} = \frac{2}{5}$.

Сложим дроби: $\frac{5+3}{5x} = \frac{2}{5}$, что дает $\frac{8}{5x} = \frac{2}{5}$.

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $8 \cdot 5 = 2 \cdot 5x$.

$40 = 10x$.

Отсюда находим $\text{x}$: $x = \frac{40}{10} = 4$.

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4

2) $\frac{3}{1\frac{1}{5}x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

Уравнение становится: $\frac{3}{\frac{6}{5}x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$.

Упростим первое слагаемое: $\frac{3}{\frac{6x}{5}} = \frac{3 \cdot 5}{6x} = \frac{15}{6x} = \frac{5}{2x}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{5}{2x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $2x$: $\frac{5}{2x} - \frac{2}{2x} = \frac{1}{2}$.

Вычтем дроби: $\frac{5-2}{2x} = \frac{1}{2}$, что дает $\frac{3}{2x} = \frac{1}{2}$.

По свойству пропорции: $3 \cdot 2 = 1 \cdot 2x$.

$6 = 2x$.

Находим $\text{x}$: $x = \frac{6}{2} = 3$.

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3

3) $\frac{4}{1\frac{1}{3}x} + \frac{1}{2x} = 0,7$

Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ и $0,7 = \frac{7}{10}$.

Уравнение примет вид: $\frac{4}{\frac{4}{3}x} + \frac{1}{2x} = \frac{7}{10}$.

Упростим первое слагаемое: $\frac{4}{\frac{4x}{3}} = \frac{4 \cdot 3}{4x} = \frac{12}{4x} = \frac{3}{x}$.

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{3}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{7}{10}$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $2x$: $\frac{3 \cdot 2}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{7}{10}$.

Сложим дроби: $\frac{6+1}{2x} = \frac{7}{10}$, что дает $\frac{7}{2x} = \frac{7}{10}$.

Так как числители равны и не равны нулю, то равны и знаменатели: $2x = 10$.

Находим $\text{x}$: $x = \frac{10}{2} = 5$.

Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5