Номер 41, страница 25, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

41*. Периметр треугольника равен 51 см. Отношение длины первой стороны к длине второй равно $1 : 2$. Отношение длины второй стороны к длине третьей равно $3 : 4$. Найдите длины сторон треугольника.

Примечание. Длина второй стороны треугольника в первом отношении содержит две части, а во втором – три части. Нужно выразить длину второй стороны одинаковым числом частей. Для этого надо:

1) найти наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, НОК (2; 3) = 6; 2) $6 : 2 = 3$, поэтому все члены первого отношения умножаем на 3. $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = 3 : 6;$

3) $6 : 3 = 2$, поэтому все члены второго отношения умножаем на 2. $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} = 6 : 8.$

Данные отношения $1 : 2$ и $3 : 4$ заменяем равными отношениями $3 : 6$ и $6 : 8$. Иначе говоря, длины трех сторон треугольника относятся как $3 : 6 : 8$.

Пусть длины сторон треугольника равны $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ соответственно. Согласно условию задачи, даны следующие соотношения и значение периметра:

1. Отношение длины первой стороны к длине второй: $a : b = 1 : 2$.

2. Отношение длины второй стороны к длине третьей: $b : c = 3 : 4$.

3. Периметр треугольника: $P = a + b + c = 51$ см.

Для решения задачи необходимо выразить длины всех трех сторон в виде единого отношения $a : b : c$. Как указано в примечании, вторая сторона $\text{b}$ в первом отношении представлена 2 частями, а во втором — 3 частями. Чтобы объединить отношения, нужно привести количество частей для стороны $\text{b}$ к общему значению.

1) Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 2 и 3, которые представляют количество частей второй стороны в двух отношениях: $НОК(2; 3) = 6$.

2) Теперь приведем первое отношение $1 : 2$ к такому виду, чтобы вторая сторона соответствовала 6 частям. Для этого нужно умножить оба члена отношения на $6 : 2 = 3$: $a : b = (1 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 3 : 6$.

3) Аналогично поступим со вторым отношением $3 : 4$. Чтобы первая часть этого отношения (соответствующая стороне $\text{b}$) стала равна 6, нужно умножить оба члена на $6 : 3 = 2$: $b : c = (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8$.

Теперь, когда в обоих преобразованных отношениях вторая сторона $\text{b}$ соответствует 6 частям, мы можем записать единое отношение для всех трех сторон треугольника: $a : b : c = 3 : 6 : 8$.

Это означает, что длины сторон пропорциональны числам 3, 6 и 8. Пусть $\text{x}$ — коэффициент пропорциональности, равный длине одной части в сантиметрах. Тогда длины сторон равны: $a = 3x$ см, $b = 6x$ см, $c = 8x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Составим и решим уравнение: $3x + 6x + 8x = 51$ $17x = 51$ $x = 51 / 17$ $x = 3$

Коэффициент пропорциональности равен 3. Теперь найдем длины каждой стороны, умножив соответствующее число частей на значение $\text{x}$: Первая сторона: $a = 3 \cdot 3 = 9$ см. Вторая сторона: $b = 6 \cdot 3 = 18$ см. Третья сторона: $c = 8 \cdot 3 = 24$ см.

Ответ: длины сторон треугольника равны 9 см, 18 см и 24 см.