Номер 504, страница 151, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

504. На занятии математического кружка $16$ учащихся сидят за $\text{8}$ столами. Из них более половины мальчики. Докажите, что какие-то $\text{2}$ мальчика сидят за одним столом.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного, который в данном случае является иллюстрацией принципа Дирихле.

1. Сначала определим точное минимальное количество мальчиков. Общее число учащихся в кружке — 16. Половина от этого числа составляет $16 / 2 = 8$. Согласно условию, мальчиков в кружке «более половины», это значит, что их количество строго больше 8. Так как количество людей может быть только целым числом, то минимальное количество мальчиков в кружке равно $8 + 1 = 9$.

2. Сформулируем предположение, обратное доказываемому утверждению. Предположим, что не существует стола, за которым сидят 2 или более мальчика. Это равносильно тому, что за каждым столом сидит не более одного мальчика (то есть один мальчик или ни одного).

3. Проверим, к какому выводу приводит наше предположение. В кружке всего 8 столов. Если за каждым из 8 столов сидит не более одного мальчика, то максимальное общее количество мальчиков, которое можно так рассадить, равно произведению количества столов на максимальное количество мальчиков за одним столом: $8 \times 1 = 8$.

4. Найдем противоречие. Из пункта 1 мы знаем, что в кружке как минимум 9 мальчиков. Наше предположение из пункта 2 привело нас к выводу, что в кружке может быть максимум 8 мальчиков. Таким образом, возникает противоречие: $9 \le \text{Количество мальчиков} \le 8$, что невозможно.

5. Сделаем вывод. Поскольку наше первоначальное предположение (о том, что за каждым столом сидит не более одного мальчика) привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, истинным является обратное утверждение: существует стол, за которым сидят как минимум 2 мальчика.

Ответ: Утверждение доказано.