Номер 729, страница 199, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

729. 1) Докажите тождество:

а) $(a + b)a - (a - b)b = a^2 + b^2$;

б) $(a + b)a - (a + b)b = a^2 - b^2$;

в) $(a + b)a + (a + b)b = a^2 + 2ab + b^2$.

2) Составьте какое-либо тождество:

а) содержащее одну переменную;

б) содержащее две переменные.

1) Докажите тождество:

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, раскрыв скобки:

$(a + b)a - (a - b)b = a \cdot a + b \cdot a - (a \cdot b - b \cdot b) = a^2 + ab - ab + b^2$

Приводим подобные члены:

$a^2 + (ab - ab) + b^2 = a^2 + 0 + b^2 = a^2 + b^2$

В результате преобразования левая часть стала равна правой части ($a^2 + b^2 = a^2 + b^2$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Можно раскрыть скобки, как в предыдущем пункте, или вынести общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a + b)a - (a + b)b = (a+b)(a-b)$

Полученное выражение является формулой разности квадратов:

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Левая часть равна правой ($a^2 - b^2 = a^2 - b^2$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть, вынеся за скобки общий множитель $(a+b)$:

$(a + b)a + (a + b)b = (a+b)(a+b) = (a+b)^2$

Это формула квадрата суммы. Раскроем ее:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, левая часть равна правой ($a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Составьте какое-либо тождество:

а) Тождество — это равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Примером тождества с одной переменной может служить равенство, следующее из распределительного свойства умножения.

Ответ: $x(x+3) = x^2+3x$.

б) Примером тождества с двумя переменными может служить переместительное свойство сложения или одна из формул сокращенного умножения.

Ответ: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.