Номер 805, страница 15, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

805. Найдите способом подбора корень уравнения:

1) $x(x + 5) = 104;$

2) $x - \frac{5}{x} = (x - 1) + \frac{4}{x};$

3) $\frac{x-2}{x} = \frac{1}{2}.$

1) Для решения уравнения $x(x + 5) = 104$ методом подбора, нужно найти такое число $\text{x}$, чтобы произведение его самого и числа, на 5 большего, было равно 104. Иначе говоря, нам нужно найти два множителя числа 104, разница между которыми равна 5.

Разложим число 104 на пары множителей:

$104 = 1 \cdot 104$

$104 = 2 \cdot 52$

$104 = 4 \cdot 26$

$104 = 8 \cdot 13$

Теперь проверим разницу между множителями в каждой паре. Нам нужна разница, равная 5.

$13 - 8 = 5$.

Эта пара нам подходит. Если мы предположим, что $\text{x}$ — это меньший множитель, то $x = 8$. Тогда второй множитель $x+5 = 8+5 = 13$.

Проверим наше предположение, подставив $x=8$ в исходное уравнение:

$8 \cdot (8 + 5) = 8 \cdot 13 = 104$.

$104 = 104$.

Равенство верное, значит, мы нашли корень.

Ответ: 8.

2) Рассмотрим уравнение $x - \frac{5}{x} = (x - 1) + \frac{4}{x}$. Область допустимых значений: $x \neq 0$.

Чтобы упростить подбор, преобразуем уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$x - \frac{5}{x} = x - 1 + \frac{4}{x}$

Видим, что слагаемое $\text{x}$ есть и в левой, и в правой части. Вычтем $\text{x}$ из обеих частей уравнения:

$-\frac{5}{x} = -1 + \frac{4}{x}$

Перенесем слагаемое $-1$ в левую часть, а слагаемое $-\frac{5}{x}$ в правую (меняя знаки):

$1 = \frac{4}{x} + \frac{5}{x}$

$1 = \frac{4+5}{x}$

$1 = \frac{9}{x}$

Теперь легко подобрать корень. На какое число нужно разделить 9, чтобы получить 1? Очевидно, что это 9. Значит, $x=9$.

Проверим, подставив найденный корень в исходное уравнение:

$9 - \frac{5}{9} = (9 - 1) + \frac{4}{9}$

$\frac{81}{9} - \frac{5}{9} = 8 + \frac{4}{9}$

$\frac{76}{9} = \frac{72}{9} + \frac{4}{9}$

$\frac{76}{9} = \frac{76}{9}$

Равенство верное.

Ответ: 9.

3) В уравнении $\frac{x-2}{x} = \frac{1}{2}$ необходимо найти такое значение $\text{x}$ (при $x \neq 0$), чтобы равенство было верным.

Можно пойти двумя путями.

Первый путь - преобразование левой части: $\frac{x-2}{x} = \frac{x}{x} - \frac{2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.

Тогда уравнение примет вид: $1 - \frac{2}{x} = \frac{1}{2}$.

Отсюда $\frac{2}{x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Из равенства $\frac{2}{x} = \frac{1}{2}$ подбором находим, что $x=4$.

Второй путь - подстановка целых чисел вместо $\text{x}$ до тех пор, пока не найдется верное равенство.

Пусть $x=1$: $\frac{1-2}{1} = -1 \neq \frac{1}{2}$.

Пусть $x=2$: $\frac{2-2}{2} = 0 \neq \frac{1}{2}$.

Пусть $x=3$: $\frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$.

Пусть $x=4$: $\frac{4-2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ верно. Значит, $x=4$ является корнем.

Ответ: 4.