Номер 809, страница 15, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

809. Выберите равносильные уравнения:

1) $|y + 2| = 7$ и $(y - 5)(y + 9) = 0;$

2) $|2y + 5| = 3$ и $(y + 1)(y + 4) = 0;$

3) $|5x - 11| = 4$ и $(x - 8)(x - 3) = 0;$

4) $|8 - x| = 2$ и $(x - 6)(x - 10) = 0.$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) совпадают. Чтобы определить, какие из предложенных пар уравнений являются равносильными, необходимо найти корни каждого уравнения и сравнить полученные множества решений.

1) $|y + 2| = 7$ и $(y - 5)(y + 9) = 0$

Решим первое уравнение $|y + 2| = 7$. По определению модуля, это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$y + 2 = 7$ или $y + 2 = -7$.

Из первого уравнения находим $y = 7 - 2$, то есть $y = 5$.

Из второго уравнения находим $y = -7 - 2$, то есть $y = -9$.

Таким образом, множество решений первого уравнения: $\{5, -9\}$.

Теперь решим второе уравнение $(y - 5)(y + 9) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$y - 5 = 0$ или $y + 9 = 0$.

Отсюда получаем $y = 5$ или $y = -9$.

Множество решений второго уравнения: $\{5, -9\}$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, данные уравнения являются равносильными.

Ответ: уравнения равносильны.

2) $|2y + 5| = 3$ и $(y + 1)(y + 4) = 0$

Решим первое уравнение $|2y + 5| = 3$.

Оно распадается на два случая:

$2y + 5 = 3$ или $2y + 5 = -3$.

В первом случае: $2y = 3 - 5 \Rightarrow 2y = -2 \Rightarrow y = -1$.

Во втором случае: $2y = -3 - 5 \Rightarrow 2y = -8 \Rightarrow y = -4$.

Множество решений первого уравнения: $\{-1, -4\}$.

Решим второе уравнение $(y + 1)(y + 4) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$y + 1 = 0$ или $y + 4 = 0$.

Получаем корни $y = -1$ или $y = -4$.

Множество решений второго уравнения: $\{-1, -4\}$.

Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.

Ответ: уравнения равносильны.

3) $|5x - 11| = 4$ и $(x - 8)(x - 3) = 0$

Решим первое уравнение $|5x - 11| = 4$.

Раскрываем модуль:

$5x - 11 = 4$ или $5x - 11 = -4$.

В первом случае: $5x = 15 \Rightarrow x = 3$.

Во втором случае: $5x = -4 + 11 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5} = 1.4$.

Множество решений первого уравнения: $\{3, 1.4\}$.

Решим второе уравнение $(x - 8)(x - 3) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 8 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Получаем корни $x = 8$ или $x = 3$.

Множество решений второго уравнения: $\{8, 3\}$.

Множества решений $\{3, 1.4\}$ и $\{8, 3\}$ не совпадают, так как $1.4 \neq 8$. Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: уравнения не равносильны.

4) $|8 - x| = 2$ и $(x - 6)(x - 10) = 0$

Решим первое уравнение $|8 - x| = 2$.

Оно эквивалентно совокупности:

$8 - x = 2$ или $8 - x = -2$.

В первом случае: $x = 8 - 2 \Rightarrow x = 6$.

Во втором случае: $x = 8 - (-2) \Rightarrow x = 10$.

Множество решений первого уравнения: $\{6, 10\}$.

Решим второе уравнение $(x - 6)(x - 10) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 6 = 0$ или $x - 10 = 0$.

Получаем корни $x = 6$ или $x = 10$.

Множество решений второго уравнения: $\{6, 10\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: уравнения равносильны.

Итак, равносильными являются пары уравнений под номерами 1, 2 и 4.