Номер 806, страница 15, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

806. Из 18 палочек с одинаковой длиной по 4 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямоугольника.

Для того чтобы сложить прямоугольник из 18 палочек, все палочки должны быть использованы для формирования его периметра.

1. Сначала найдем общую длину всех палочек, которая и будет периметром $\text{P}$ прямоугольника. Длина одной палочки равна 4 см.

$P = 18 \times 4 \text{ см} = 72 \text{ см}$

2. Периметр прямоугольника связан с его сторонами $\text{a}$ и $\text{b}$ формулой $P = 2(a+b)$. Отсюда можно найти сумму длин двух смежных сторон:

$a + b = \frac{P}{2} = \frac{72}{2} = 36 \text{ см}$

3. Поскольку стороны прямоугольника складываются из палочек, их длины должны быть кратны 4 см. Пусть сторона $\text{a}$ состоит из $n_a$ палочек, а сторона $\text{b}$ — из $n_b$ палочек. Тогда общее число палочек, использованных для периметра, равно $2n_a + 2n_b = 18$. Упростив это выражение, получаем сумму палочек на двух смежных сторонах:

$n_a + n_b = 9$

4. Площадь прямоугольника $\text{S}$ вычисляется как $S = a \times b$. Чтобы найти прямоугольник наибольшей площади, нужно найти такие значения $\text{a}$ и $\text{b}$, которые дают максимальное произведение при фиксированной сумме. Известно, что для двух чисел с постоянной суммой их произведение максимально, когда эти числа наиболее близки друг к другу.

5. Нам нужно найти два целых числа $n_a$ и $n_b$, сумма которых равна 9, а произведение $n_a \times n_b$ максимально. Рассмотрим все возможные пары натуральных чисел:

• Если $n_a = 1$, то $n_b = 8$. Произведение: $1 \times 8 = 8$.
• Если $n_a = 2$, то $n_b = 7$. Произведение: $2 \times 7 = 14$.
• Если $n_a = 3$, то $n_b = 6$. Произведение: $3 \times 6 = 18$.
• Если $n_a = 4$, то $n_b = 5$. Произведение: $4 \times 5 = 20$.

Наибольшее произведение равно 20, оно достигается, когда на стороны приходится 4 и 5 палочек. Это соответствует прямоугольнику, форма которого наиболее близка к квадрату.

6. Теперь определим длины сторон этого прямоугольника и вычислим его площадь.

Длина одной стороны: $a = n_a \times 4 \text{ см} = 4 \times 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Длина другой стороны: $b = n_b \times 4 \text{ см} = 5 \times 4 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Площадь прямоугольника с наибольшей площадью равна:

$S = a \times b = 16 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 320 \text{ см}^2$.

Ответ: $320 \text{ см}^2$.