Номер 819, страница 17, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

819*. Решите уравнения:

1) $2 = \frac{5}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{1+x}}};$

2) $1 = \frac{3}{1+\frac{4}{3-\frac{2}{3+x}}};$

3) $5 = \frac{2}{1-\frac{3}{1+\frac{2}{1-\frac{1}{1+x}}}}.$

820. Составьте уравнение по условию задачи.

1) Исходное уравнение: $2 = \frac{5}{1 + \frac{4}{1 + \frac{5}{1+x}}}$.

Решаем уравнение, последовательно упрощая многоэтажную дробь, двигаясь "снаружи внутрь".

Из уравнения следует, что знаменатель дроби в правой части равен $\frac{5}{2}$.

$1 + \frac{4}{1 + \frac{5}{1+x}} = \frac{5}{2}$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$\frac{4}{1 + \frac{5}{1+x}} = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$

Из пропорции следует, что $4 \cdot 2 = 3 \cdot \left(1 + \frac{5}{1+x}\right)$, то есть $8 = 3 \cdot \left(1 + \frac{5}{1+x}\right)$.

Разделим на 3:

$\frac{8}{3} = 1 + \frac{5}{1+x}$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$\frac{5}{1+x} = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$

Так как числители дробей равны, их знаменатели также должны быть равны.

$1+x = 3$

$x = 2$

При этом значении $\text{x}$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не обращается в ноль, поэтому решение корректно.

Ответ: $\text{2}$.

2) Исходное уравнение: $1 = \frac{3}{1 + \frac{4}{3 - \frac{2}{3+x}}}$.

Знаменатель дроби в правой части должен быть равен $\frac{3}{1} = 3$.

$1 + \frac{4}{3 - \frac{2}{3+x}} = 3$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$\frac{4}{3 - \frac{2}{3+x}} = 2$

Разделим обе части на 2:

$\frac{2}{3 - \frac{2}{3+x}} = 1$

Знаменатель дроби в левой части равен 2.

$3 - \frac{2}{3+x} = 2$

Переносим 3 в правую часть:

$-\frac{2}{3+x} = -1$

$\frac{2}{3+x} = 1$

Отсюда следует, что знаменатель равен 2.

$3+x = 2$

$x = -1$

При этом значении $\text{x}$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не обращается в ноль.

Ответ: $-1$.

3) Исходное уравнение: $5 = \frac{2}{1 - \frac{3}{1 + \frac{2}{1 - \frac{1}{1+x}}}}$.

Знаменатель дроби в правой части должен быть равен $\frac{2}{5}$.

$1 - \frac{3}{1 + \frac{2}{1 - \frac{1}{1+x}}} = \frac{2}{5}$

Выразим дробь с числителем 3:

$\frac{3}{1 + \frac{2}{1 - \frac{1}{1+x}}} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Так как числители равны, знаменатели также равны.

$1 + \frac{2}{1 - \frac{1}{1+x}} = 5$

Вычитаем 1:

$\frac{2}{1 - \frac{1}{1+x}} = 4$

Разделим на 2:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{1+x}} = 2$

Знаменатель дроби в левой части равен $\frac{1}{2}$.

$1 - \frac{1}{1+x} = \frac{1}{2}$

Выразим дробь с числителем 1:

$\frac{1}{1+x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Так как числители равны, знаменатели также равны.

$1+x = 2$

$x = 1$

При этом значении $\text{x}$ ни один из знаменателей в исходном уравнении не обращается в ноль.

Ответ: $\text{1}$.