Номер 833, страница 23, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

833. Решите с помощью графа задачу.

Коля, Саша, Мирас и Ринат участвуют в художественной самодеятельности школы. Один из них играет на гитаре, другой – на гармони, третий поет, а четвертый танцует.

1) Коля играет на гитаре, Саша играет на гармони.

2) Ринат танцует, Мирас играет на гитаре.

3) Коля поет, Саша танцует.

Одно из этих утверждений верное, а другое – ложное. Каким видом художественной самодеятельности занимается каждый из ребят?

Для решения задачи представим информацию в виде графа. Создадим две группы вершин: первая — имена ребят (Коля, Саша, Мирас, Ринат), вторая — виды деятельности (гитара, гармонь, пение, танцы). Наша цель — установить однозначное соответствие (один к одному) между ребятами и их занятиями.

В задаче даны три утверждения:

1. Коля играет на гитаре, Саша играет на гармони.
2. Ринат танцует, Мирас играет на гитаре.
3. Коля поет, Саша танцует.

По условию, одно из этих утверждений верное, а другое — ложное. Это означает, что не все утверждения могут быть истинными и не все могут быть ложными. Проанализируем сами утверждения на предмет совместной истинности:

• Утверждения 1 и 2 не могут быть одновременно истинными, так как в этом случае на гитаре должны играть и Коля, и Мирас, что противоречит условию (каждый занимается одним видом деятельности).
• Утверждения 1 и 3 не могут быть одновременно истинными, так как Коля должен был бы одновременно играть на гитаре и петь.
• Утверждения 2 и 3 не могут быть одновременно истинными, так как и Ринат, и Саша должны были бы быть танцорами.

Из этого следует, что только одно из трёх утверждений может быть верным, а два других обязательно будут ложными. Рассмотрим три возможных случая.

1) Предположим, что утверждение 1 верное, а 2 и 3 — ложные.

Если утверждение 1 верное, то Коля играет на гитаре, а Саша играет на гармони. Из ложности утверждения 2 ("Ринат танцует, Мирас играет на гитаре") следует, что либо Ринат не танцует, либо Мирас не играет на гитаре. Так как Коля уже гитарист, Мирас точно не играет на гитаре. Из ложности утверждения 3 ("Коля поет, Саша танцует") следует, что либо Коля не поет, либо Саша не танцует (что и так следует из нашего предположения). Этот вариант не приводит к однозначному решению, так как для Мираса и Рината остаются два занятия (пение и танцы) без дополнительных ограничений.

2) Предположим, что утверждение 2 верное, а 1 и 3 — ложные.

Из истинности утверждения 2 следует, что Ринат танцует, а Мирас играет на гитаре. В нашем графе это соответствует двум установленным связям: (Ринат - Танцы) и (Мирас - Гитара).

Теперь рассмотрим ложные утверждения. В таких задачах, если составное утверждение вида "A и B" ложно, то ложными считаются обе его части.

• Из ложности утверждения 1 ("Коля играет на гитаре, Саша играет на гармони") следует, что Коля не играет на гитаре (что и так понятно, так как гитарист — Мирас) и, что важно, Саша не играет на гармони.
• Из ложности утверждения 3 ("Коля поет, Саша танцует") следует, что Коля не поет и Саша не танцует (что и так понятно, так как танцор — Ринат).

Соберем все факты. У нас остались два нераспределенных человека — Коля и Саша, и два свободных занятия — игра на гармони и пение.

• Мы знаем, что Коля не поет. Значит, из двух оставшихся занятий (пение, гармонь) ему остается только игра на гармони.
• Мы знаем, что Саша не играет на гармони. Следовательно, он должен заниматься единственным оставшимся для него вариантом — пением.

Таким образом, мы получили полное распределение. Проверим его на соответствие исходным предположениям.

Наше решение: Коля — гармонист, Саша — певец, Мирас — гитарист, Ринат — танцор.

• Утверждение 1: "Коля играет на гитаре (Ложь), Саша играет на гармони (Ложь)". Целиком ложно. Верно.
• Утверждение 2: "Ринат танцует (Истина), Мирас играет на гитаре (Истина)". Целиком истинно. Верно.
• Утверждение 3: "Коля поет (Ложь), Саша танцует (Ложь)". Целиком ложно. Верно.

Все условия соблюдены. Данный случай приводит к единственному непротиворечивому решению.

Ответ: Коля играет на гармони, Саша поет, Мирас играет на гитаре, Ринат танцует.

3) Предположим, что утверждение 3 верное, а 1 и 2 — ложные.

Если утверждение 3 верное, то Коля поет, а Саша танцует. Из ложности утверждения 1 ("Коля играет на гитаре, Саша играет на гармони") и утверждения 2 ("Ринат танцует, Мирас играет на гитаре") не возникает противоречий, но и этот случай не является решением задачи, так как мы уже нашли единственное верное решение в пункте 2.