Номер 836, страница 24, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите уравнения (834-836).

836*. 1) $\lvert|2x + 3| - 2\rvert = 5$; 2) $\lvert|3x - 2| + 3\rvert = 7$; 3) $\lvert|4x + 3| - 5\rvert = 8$.

Образец:

Найдем корни уравнения $\lvert|5x - 4| + 2\rvert = 7$.

Решение:

$|5x - 4| + 2 = 7$ или $|5x - 4| + 2 = -7$.

$|5x - 4| = 5$; $|5x - 4| = -9$ нет решений.

$5x - 4 = 5$

$5x = 9$,

$x = 1,8$.

или

$5x - 4 = -5$,

$5x = -1$,

$x = -0,2$.

Ответ:

-0,2; 1,8.

1) $||2x + 3| - 2| = 5$

Раскроем внешний модуль. Уравнение $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности $A=B$ или $A=-B$. В данном случае $A = |2x + 3| - 2$ и $B=5$.

Получаем два случая:

$|2x + 3| - 2 = 5$ или $|2x + 3| - 2 = -5$

Решим первое уравнение:

$|2x + 3| - 2 = 5$

$|2x + 3| = 7$

Раскроем модуль еще раз:

$2x + 3 = 7$ или $2x + 3 = -7$

Решая первое из них, получаем:

$2x = 7 - 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Решая второе, получаем:

$2x = -7 - 3$

$2x = -10$

$x = -5$

Теперь рассмотрим второй случай из первоначальной совокупности:

$|2x + 3| - 2 = -5$

$|2x + 3| = -5 + 2$

$|2x + 3| = -3$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у исходного уравнения два корня.

Ответ: -5; 2.

2) $||3x - 2| + 3| = 7$

Раскроем внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$|3x - 2| + 3 = 7$ или $|3x - 2| + 3 = -7$

Решим первое уравнение:

$|3x - 2| + 3 = 7$

$|3x - 2| = 7 - 3$

$|3x - 2| = 4$

Это уравнение равносильно совокупности:

$3x - 2 = 4$ или $3x - 2 = -4$

Решая первое из них, получаем:

$3x = 4 + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

Решая второе, получаем:

$3x = -4 + 2$

$3x = -2$

$x = -2/3$

Теперь рассмотрим второе уравнение из первоначальной совокупности:

$|3x - 2| + 3 = -7$

$|3x - 2| = -7 - 3$

$|3x - 2| = -10$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у исходного уравнения два корня.

Ответ: -2/3; 2.

3) $||4x + 3| - 5| = 8$

Раскроем внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$|4x + 3| - 5 = 8$ или $|4x + 3| - 5 = -8$

Решим первое уравнение:

$|4x + 3| - 5 = 8$

$|4x + 3| = 8 + 5$

$|4x + 3| = 13$

Это уравнение равносильно совокупности:

$4x + 3 = 13$ или $4x + 3 = -13$

Решая первое из них, получаем:

$4x = 13 - 3$

$4x = 10$

$x = 10/4 = 2,5$

Решая второе, получаем:

$4x = -13 - 3$

$4x = -16$

$x = -4$

Теперь рассмотрим второе уравнение из первоначальной совокупности:

$|4x + 3| - 5 = -8$

$|4x + 3| = -8 + 5$

$|4x + 3| = -3$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у исходного уравнения два корня.

Ответ: -4; 2,5.