Номер 847, страница 26, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите уравнения (846, 847).

847*.

1) $||8x + 1| - 2| = 9;$

2) $|4 + |5x + 2|| = 9;$

3) $||10x + 7| - 5| = 13.$

1) Исходное уравнение: $||8x + 1| - 2| = 9$. Уравнение вида $|A| = b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ и $A = -b$. Применим это правило к нашему уравнению, где $A = |8x + 1| - 2$ и $b = 9$. Получаем два случая:

1. $|8x + 1| - 2 = 9$

2. $|8x + 1| - 2 = -9$

Рассмотрим первый случай:

$|8x + 1| - 2 = 9$

$|8x + 1| = 11$

Это уравнение снова распадается на два:

$8x + 1 = 11 \implies 8x = 10 \implies x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25$

$8x + 1 = -11 \implies 8x = -12 \implies x = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Рассмотрим второй случай:

$|8x + 1| - 2 = -9$

$|8x + 1| = -7$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 1.25; x_2 = -1.5$.

2) Исходное уравнение: $|4 + |5x + 2|| = 9$. Заметим, что выражение $|5x + 2|$ всегда неотрицательно, то есть $|5x + 2| \ge 0$. Следовательно, выражение $4 + |5x + 2|$ всегда будет больше или равно 4, а значит, всегда положительно. Так как выражение под внешним модулем всегда положительно, мы можем просто убрать знаки внешнего модуля:

$4 + |5x + 2| = 9$

Теперь решим это уравнение:

$|5x + 2| = 9 - 4$

$|5x + 2| = 5$

Это уравнение распадается на два:

$5x + 2 = 5 \implies 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5} = 0.6$

$5x + 2 = -5 \implies 5x = -7 \implies x = -\frac{7}{5} = -1.4$

Исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0.6; x_2 = -1.4$.

3) Исходное уравнение: $||10x + 7| - 5| = 13$. Раскрываем внешний модуль, что приводит к двум случаям:

1. $|10x + 7| - 5 = 13$

2. $|10x + 7| - 5 = -13$

Рассмотрим первый случай:

$|10x + 7| - 5 = 13$

$|10x + 7| = 18$

Это уравнение распадается на два:

$10x + 7 = 18 \implies 10x = 11 \implies x = \frac{11}{10} = 1.1$

$10x + 7 = -18 \implies 10x = -25 \implies x = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Рассмотрим второй случай:

$|10x + 7| - 5 = -13$

$|10x + 7| = -8$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 1.1; x_2 = -2.5$.