Номер 87, страница 37, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

87. Имеются 5 внешне одинаковых монет. Одна из них фальшивая, которая легче, чем остальные. Как найти фальшивую монету с помощью не более двух взвешиваний на рычажных весах без гирь?

Для того чтобы найти фальшивую монету не более чем за два взвешивания, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

Пронумеруем монеты от 1 до 5 и обозначим их для удобства как $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$.

Шаг 1: Первое взвешивание

Положим на левую чашу весов монету $M_1$, а на правую — монету $M_2$. Монеты $M_3, M_4, M_5$ оставим в стороне. Возможны три исхода:

• Случай 1: Левая чаша легче правой ($M_1 < M_2$).

  Поскольку фальшивая монета легче настоящей, это означает, что $M_1$ — фальшивая. Задача решена за одно взвешивание.

• Случай 2: Правая чаша легче левой ($M_1 > M_2$).

  Аналогично, это означает, что $M_2$ — фальшивая. Задача также решена за одно взвешивание.

• Случай 3: Весы находятся в равновесии ($M_1 = M_2$).

  Это означает, что монеты $M_1$ и $M_2$ — настоящие. Следовательно, фальшивая монета находится среди оставшихся трех: $M_3, M_4, M_5$. Для ее обнаружения потребуется второе взвешивание.

Шаг 2: Второе взвешивание

Это взвешивание необходимо только в том случае, если весы были в равновесии после первого шага (Случай 3).

Теперь мы знаем, что фальшивая монета — одна из трех: $M_3, M_4, M_5$. Положим на левую чашу весов монету $M_3$, а на правую — $M_4$. Монета $M_5$ останется в стороне. Снова возможны три исхода:

• Если левая чаша легче ($M_3 < M_4$), то фальшивая монета — $M_3$.

• Если правая чаша легче ($M_3 > M_4$), то фальшивая монета — $M_4$.

• Если весы в равновесии ($M_3 = M_4$), это означает, что обе монеты на весах настоящие. Следовательно, фальшивая монета — та, что осталась в стороне, то есть $M_5$.

Таким образом, в любом из сценариев мы находим фальшивую монету, используя не более двух взвешиваний.

Ответ: Первое взвешивание: положить по одной монете на каждую чашу весов, три отложить. Если одна чаша легче, то на ней фальшивая монета. Если весы в равновесии, то фальшивая монета — одна из трех оставшихся. Второе взвешивание (если необходимо): взять две монеты из оставшихся трех и положить их на весы (по одной на чашу). Если одна чаша легче — на ней фальшивая монета. Если весы в равновесии — фальшивая та монета из трех, что не участвовала во втором взвешивании.