Номер 927, страница 50, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

927. Используя координатную прямую, найдите объединение числовых промежутков:

1) $(-12; 8]$ и $[5; 11)$;

2) $(-\infty; -3)$ и $[-5; 4)$;

3) $[2; +\infty)$ и $(7; +\infty)$;

4) $(-2; 3]$ и $[6; 10)$;

5) $[-7; -1]$ и $[-3; 7]$;

6) $(-\infty; 1)$ и $(-4; 10)$.

1) Чтобы найти объединение промежутков $(-12; 8]$ и $[5; 11)$, представим их на координатной прямой. Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Первый промежуток $(-12; 8]$ — это все числа $\text{x}$, для которых выполняется неравенство $-12 < x \le 8$. На координатной прямой это интервал с выколотой точкой в $-12$ и закрашенной точкой в $\text{8}$.

Второй промежуток $[5; 11)$ — это все числа $\text{x}$, для которых выполняется неравенство $5 \le x < 11$. На координатной прямой это интервал с закрашенной точкой в $\text{5}$ и выколотой точкой в $11$.

Данные промежутки пересекаются на отрезке $[5; 8]$. Объединение будет содержать все числа из обоих промежутков, то есть оно начнется с наименьшей границы (левый конец первого промежутка, $-12$) и закончится наибольшей границей (правый конец второго промежутка, $11$). Так как точка $-12$ не входит в первый промежуток, она не войдет и в объединение. Так как точка $11$ не входит во второй промежуток, она не войдет и в объединение.

Таким образом, объединением является интервал $(-12; 11)$.

Запись: $(-12; 8] \cup [5; 11) = (-12; 11)$.

Ответ: $(-12; 11)$.

2) Найдем объединение промежутков $(-\infty; -3)$ и $[-5; 4)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток $(-\infty; -3)$ — это луч, содержащий все числа, строго меньшие $-3$.

Второй промежуток $[-5; 4)$ — это полуинтервал, содержащий все числа от $-5$ (включительно) до $\text{4}$ (не включительно).

Первый промежуток покрывает все числа левее $-3$. Второй промежуток начинается в точке $-5$ (которая уже находится в первом промежутке, так как $-5 < -3$) и продолжается до $\text{4}$. Объединение этих двух множеств будет включать все числа из первого промежутка и все числа из второго. Это означает, что результирующий промежуток начнется в $-\infty$ и закончится в $\text{4}$ (не включая).

Таким образом, объединением является луч $(-\infty; 4)$.

Запись: $(-\infty; -3) \cup [-5; 4) = (-\infty; 4)$.

Ответ: $(-\infty; 4)$.

3) Найдем объединение промежутков $[2; +\infty)$ и $(7; +\infty)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток $[2; +\infty)$ — это луч, содержащий все числа, большие или равные $\text{2}$.

Второй промежуток $(7; +\infty)$ — это луч, содержащий все числа, строго большие $\text{7}$.

Любое число, которое больше $\text{7}$, также является большим или равным $\text{2}$. Следовательно, второй промежуток $(7; +\infty)$ является подмножеством первого промежутка $[2; +\infty)$.

Объединение множества с его подмножеством равно самому множеству (большему).

Таким образом, объединением является луч $[2; +\infty)$.

Запись: $[2; +\infty) \cup (7; +\infty) = [2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.

4) Найдем объединение промежутков $(-2; 3]$ и $[6; 10)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток $(-2; 3]$ — это полуинтервал от $-2$ (не включая) до $\text{3}$ (включая).

Второй промежуток $[6; 10)$ — это полуинтервал от $\text{6}$ (включая) до $10$ (не включая).

Эти два промежутка не имеют общих точек, они не пересекаются. Между ними находится "пробел" — интервал $(3; 6)$, числа из которого не принадлежат ни одному из данных промежутков.

В этом случае объединение нельзя записать в виде одного сплошного промежутка. Оно представляет собой совокупность двух отдельных промежутков.

Таким образом, объединение записывается как $(-2; 3] \cup [6; 10)$.

Ответ: $(-2; 3] \cup [6; 10)$.

5) Найдем объединение промежутков $[-7; -1]$ и $[-3; 7]$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток $[-7; -1]$ — это отрезок от $-7$ до $-1$ включительно.

Второй промежуток $[-3; 7]$ — это отрезок от $-3$ до $\text{7}$ включительно.

Промежутки перекрываются на отрезке $[-3; -1]$. Объединение будет начинаться с наименьшего значения (левая граница первого отрезка, $-7$) и заканчиваться наибольшим значением (правая граница второго отрезка, $\text{7}$). Обе границы, $-7$ и $\text{7}$, включаются в объединение.

Таким образом, объединением является отрезок $[-7; 7]$.

Запись: $[-7; -1] \cup [-3; 7] = [-7; 7]$.

Ответ: $[-7; 7]$.

6) Найдем объединение промежутков $(-\infty; 1)$ и $(-4; 10)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

Первый промежуток $(-\infty; 1)$ — это луч, содержащий все числа, строго меньшие $\text{1}$.

Второй промежуток $(-4; 10)$ — это интервал от $-4$ (не включая) до $10$ (не включая).

Часть второго промежутка, а именно $(-4; 1)$, полностью содержится в первом. Объединение будет содержать все числа из обоих промежутков. Оно начнется в $-\infty$ (из первого промежутка) и закончится в $10$ (не включая), как во втором промежутке.

Таким образом, объединением является луч $(-\infty; 10)$.

Запись: $(-\infty; 1) \cup (-4; 10) = (-\infty; 10)$.

Ответ: $(-\infty; 10)$.