Номер 3, страница 49, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. В каком случае пересечение числовых промежутков является пустым множеством?

Пересечение двух или более числовых промежутков является пустым множеством, если у этих промежутков нет ни одной общей точки. Пустое множество обозначается символом $\emptyset$.

Рассмотрим два числовых промежутка $I_1$ и $I_2$. Чтобы их пересечение $I_1 \cap I_2$ было пустым, они не должны перекрываться на числовой оси. Это означает, что один из промежутков должен полностью находиться левее другого.

Общее правило

Пусть левый промежуток заканчивается в точке $\text{b}$, а правый промежуток начинается в точке $\text{c}$. Чтобы не было пересечения, правая граница левого промежутка должна быть меньше, чем левая граница правого промежутка.

Рассмотрим два промежутка, $\text{A}$ и $\text{B}$. Предположим, без умаления общности, что промежуток $\text{A}$ расположен на числовой оси левее или там же, где и $\text{B}$. Пусть правая граница промежутка $\text{A}$ — это число $\text{b}$, а левая граница промежутка $\text{B}$ — это число $\text{c}$.

Пересечение $A \cap B$ будет пустым множеством в двух основных случаях:

1. Промежутки не соприкасаются

Если правая граница левого промежутка строго меньше левой границы правого, то есть $b < c$. В этом случае между промежутками существует зазор, и у них не может быть общих точек, независимо от того, какие скобки (круглые или квадратные) используются для определения границ.

Пример:

Пусть $A = [-1, 2]$ и $B = (3, 5)$. Правая граница $\text{A}$ равна $\text{2}$, левая граница $\text{B}$ равна $\text{3}$. Так как $2 < 3$, то пересечение $A \cap B = \emptyset$.

2. Промежутки соприкасаются в одной точке

Если правая граница левого промежутка совпадает с левой границей правого, то есть $b = c$. В этом случае пересечение будет пустым, только если эта общая точка не принадлежит хотя бы одному из промежутков. Это означает, что у соответствующей границы должна быть круглая скобка.

Примеры:

• Интервалы $A = (0, 3)$ и $B = (3, 5)$. Точка $\text{3}$ не принадлежит ни одному из них. Пересечение $A \cap B = \emptyset$.

• Интервалы $A = [0, 3)$ и $B = [3, 5]$. Точка $\text{3}$ не принадлежит промежутку $\text{A}$. Пересечение $A \cap B = \emptyset$.

• Интервалы $A = (0, 3]$ и $B = (3, 5]$. Точка $\text{3}$ не принадлежит промежутку $\text{B}$. Пересечение $A \cap B = \emptyset$.

Однако, если в случае $b = c$ обе скобки квадратные, то общая точка входит в оба промежутка, и пересечение не будет пустым. Например, для $A = [0, 3]$ и $B = [3, 5]$, их пересечение $A \cap B = \{3\}$, что не является пустым множеством.

Ответ:

Пересечение числовых промежутков является пустым множеством, если у них нет общих точек. Для двух промежутков, где правая граница одного равна $\text{b}$, а левая граница другого равна $\text{c}$, и $b \le c$, их пересечение пусто, если выполняется одно из условий:

1. Правая граница левого промежутка строго меньше левой границы правого ($b < c$).

2. Границы промежутков совпадают ($b = c$), но эта точка не включена хотя бы в один из промежутков (т.е. в точке $\text{b}$ или $\text{c}$ стоит круглая скобка).