Номер 2, страница 49, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Какой числовой промежуток называется пересечением числовых промежутков?

Пересечением двух или более числовых промежутков называется множество, состоящее из всех тех чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков. Иными словами, это их общая часть.

Для обозначения операции пересечения используется специальный символ $ \cap $. Если даны два числовых промежутка $\text{A}$ и $\text{B}$, то их пересечение $A \cap B$ — это множество всех чисел $\text{x}$, которые одновременно принадлежат и промежутку $\text{A}$, и промежутку $\text{B}$. Формально это записывается так:

$ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B \} $

Результатом пересечения числовых промежутков может быть:

• числовой промежуток;
• множество, состоящее из одного числа (например, $ [-2; 5] \cap [5; 10] = \{5\} $);
• пустое множество ($ \emptyset $), если у промежутков нет общих точек.

Как найти пересечение

Самый наглядный способ найти пересечение — это изобразить данные промежутки на одной числовой оси. Область, где штриховки, обозначающие промежутки, пересекутся (наложатся друг на друга), и будет являться их пересечением.

Пример 1: Найти пересечение промежутков $ [-1; 4] $ и $ (2; 6) $.

1. Изобразим на числовой оси промежуток $ [-1; 4] $. Точки $-1$ и $\text{4}$ закрашенные, так как скобки квадратные.

2. На той же оси изобразим промежуток $ (2; 6) $. Точки $\text{2}$ и $\text{6}$ "выколотые" (пустые), так как скобки круглые.

3. Ищем область, где штриховки обоих промежутков совпадают. Это будет промежуток от $\text{2}$ до $\text{4}$.

4. Определяем тип скобок для нового промежутка. Так как число $\text{2}$ не входит во второй промежуток, оно не может входить и в их общую часть, поэтому скобка будет круглой. Число $\text{4}$ входит в первый промежуток и также входит во второй (так как $2 < 4 < 6$), поэтому оно входит в пересечение, и скобка будет квадратной.

Таким образом, $ [-1; 4] \cap (2; 6) = (2; 4] $.

Пример 2: Найти пересечение промежутков $ (-\infty; 3] $ и $ (5; +\infty) $.

Первый промежуток — все числа, меньшие или равные $\text{3}$. Второй промежуток — все числа, строго большие $\text{5}$.

Изобразив их на числовой оси, мы увидим, что штриховки не пересекаются. Это означает, что у промежутков нет общих точек.

Следовательно, их пересечение — пустое множество: $ (-\infty; 3] \cap (5; +\infty) = \emptyset $.

Ответ: Пересечением числовых промежутков называется числовой промежуток (или отдельное число, или пустое множество), который состоит из всех чисел, принадлежащих одновременно каждому из данных промежутков.