Номер 934, страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

934. Используя координатную прямую, найдите пересечение числовых промежутков:

1) $(-7; 5]$, $(-4; +\infty)$ и $[-1; 9);$

2) $(-\infty; -6]$, $[-6; +\infty)$ и $(-6; 1);$

3) $(-8; 7), (-5; 10)$ и $[-3; 2];$

4) $(-\infty; 5], (-4; +\infty)$ и $[-2; 9].$

1) Для нахождения пересечения промежутков $(-7; 5]$, $(-4; +\infty)$ и $[-1; 9)$ изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток $(-7; 5]$ включает все числа от -7 (не включительно) до 5 (включительно). Второй промежуток $(-4; +\infty)$ включает все числа, которые больше -4. Третий промежуток $[-1; 9)$ включает все числа от -1 (включительно) до 9 (не включительно). Пересечением, то есть общей частью всех трех промежутков, является множество чисел, удовлетворяющих всем трем условиям одновременно. На координатной прямой это область, где все три штриховки накладываются друг на друга. Эта область начинается с наибольшей из левых границ, $\max(-7, -4, -1) = -1$, и заканчивается наименьшей из правых границ, $\min(5, +\infty, 9) = 5$. Поскольку число -1 принадлежит всем трем исходным промежуткам (так как $-7 < -1 \le 5$, $-1 > -4$ и $-1 \ge -1$), левая граница включается. Поскольку число 5 также принадлежит всем трем исходным промежуткам (так как $5 \le 5$, $5 > -4$ и $-1 \le 5 < 9$), правая граница также включается. Таким образом, пересечением является промежуток $[-1; 5]$. Ответ: $[-1; 5]$.

2) Найдем пересечение промежутков $(-\infty; -6]$, $[-6; + \infty)$ и $(-6; 1)$. Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; -6]$ содержит все числа, меньшие или равные -6. Промежуток $[-6; +\infty)$ содержит все числа, большие или равные -6. Их пересечение, $(-\infty; -6] \cap [-6; +\infty)$, состоит из одного единственного числа: $\{-6\}$. Теперь необходимо найти пересечение этого результата с третьим промежутком: $\{-6\} \cap (-6; 1)$. Промежуток $(-6; 1)$ состоит из всех чисел, строго больших -6 и меньших 1. Он не включает в себя число -6. Так как число -6 не принадлежит промежутку $(-6; 1)$, то общее пересечение всех трех промежутков является пустым множеством. Ответ: $\emptyset$.

3) Рассмотрим пересечение промежутков $(-8; 7)$, $(-5; 10)$ и $[-3; 2]$. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Общая часть для всех трех промежутков будет определяться наибольшей левой границей и наименьшей правой границей. Левые границы: -8, -5, -3. Наибольшая из них -3. Правые границы: 7, 10, 2. Наименьшая из них 2. Таким образом, пересечение находится в пределах от -3 до 2. Промежуток $[-3; 2]$ полностью содержится в промежутке $(-8; 7)$, так как $-8 < -3$ и $2 < 7$. Также, промежуток $[-3; 2]$ полностью содержится в промежутке $(-5; 10)$, так как $-5 < -3$ и $2 < 10$. Если один из промежутков является подмножеством всех остальных, то он и будет их пересечением. Следовательно, пересечение данных трех промежутков равно $[-3; 2]$. Ответ: $[-3; 2]$.

4) Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 5]$, $(-4; +\infty)$ и $[-2; 9]$. Для этого отметим их на координатной прямой. Первый промежуток $(-\infty; 5]$ содержит все числа, не превышающие 5. Второй промежуток $(-4; +\infty)$ содержит все числа, строго большие -4. Третий промежуток $[-2; 9]$ содержит все числа от -2 до 9 включительно. Общая часть всех трех промежутков (их пересечение) будет ограничена наибольшей из левых границ и наименьшей из правых границ. Наибольшая левая граница: $\max(-\infty, -4, -2) = -2$. Наименьшая правая граница: $\min(5, +\infty, 9) = 5$. Теперь определим, включаются ли границы. Число -2 принадлежит всем трем промежуткам ($-2 \le 5$, $-2 > -4$, $-2 \ge -2$), поэтому левая граница включается (квадратная скобка). Число 5 также принадлежит всем трем промежуткам ($5 \le 5$, $5 > -4$, $-2 \le 5 \le 9$), поэтому правая граница тоже включается. В итоге, пересечение есть промежуток $[-2; 5]$. Ответ: $[-2; 5]$.