Номер 935, страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

935. Используя координатную прямую, найдите объединение числовых промежутков:

1) $(-\infty; 5]$, $(-2; +\infty)$ и $[0; 8]$;

2) $(-7; 5)$, $(-1; 9)$ и $(7; 12)$;

3) $[-3; 1)$, $[1; 5)$ и $[5; 8]$;

4) $(-8; -3)$, $(-5; 2)$ и $(0; 10)$.

Для нахождения объединения числовых промежутков необходимо определить множество, содержащее все числа, которые принадлежат хотя бы одному из данных промежутков. Удобно представить эти промежутки на координатной прямой и определить общую заштрихованную область.

Изобразим данные промежутки на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; 5]$ — это все числа, меньшие или равные 5. Промежуток $(-2; +\infty)$ — это все числа, строго большие -2. Промежуток $[0; 8]$ — это все числа от 0 до 8 включительно.

Объединение промежутков — это поиск всех точек, которые принадлежат хотя бы одному из них. Рассмотрим объединение первых двух промежутков: $(-\infty; 5] \cup (-2; +\infty)$.

Любое действительное число $\text{x}$ попадает в это объединение. Если $x \le -2$, то оно принадлежит первому промежутку $(-\infty; 5]$. Если $x > -2$, оно принадлежит второму промежутку $(-2; +\infty)$. Таким образом, их объединение покрывает всю числовую прямую, то есть является промежутком $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку объединение первых двух промежутков уже составляет всю числовую прямую, объединение всех трех промежутков также будет всей числовой прямой, так как промежуток $[0; 8]$ уже содержится в $(-\infty; +\infty)$.

Следовательно, $(-\infty; 5] \cup (-2; +\infty) \cup [0; 8] = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

Изобразим данные промежутки на координатной прямой. Все три промежутка — открытые интервалы, то есть их концы не включаются.

Найдем объединение первых двух промежутков: $(-7; 5) \cup (-1; 9)$. Поскольку они пересекаются на интервале $(-1; 5)$, их объединение будет промежутком от наименьшего левого конца (-7) до наибольшего правого (9). Получаем $(-7; 9)$.

Теперь объединим результат с третьим промежутком: $(-7; 9) \cup (7; 12)$. Эти промежутки также пересекаются (на интервале $(7; 9)$). Их объединение будет промежутком от наименьшего левого конца, равного -7, до наибольшего правого, равного 12.

Таким образом, объединение всех трех промежутков является интервалом от -7 до 12, не включая концы.

Ответ: $(-7; 12)$

Изобразим данные промежутки на координатной прямой.

Рассмотрим объединение $[-3; 1) \cup [1; 5) \cup [5; 8]$.

Первый промежуток заканчивается точкой 1, не включая ее, а второй начинается с точки 1, включая ее. При объединении "стык" в точке 1 заполняется, и мы получаем непрерывный промежуток. Таким образом, $[-3; 1) \cup [1; 5) = [-3; 5)$.

Теперь объединим полученный результат с третьим промежутком: $[-3; 5) \cup [5; 8]$. Аналогично, точка 5, не входящая в первый промежуток, входит во второй, поэтому "стык" в точке 5 также заполняется.

В результате получаем один непрерывный промежуток от -3 до 8. Так как -3 входило в первый промежуток, а 8 — в последний, оба конца будут включены.

Ответ: $[-3; 8]$

Изобразим данные промежутки на координатной прямой. Все три промежутка — открытые интервалы.

Найдем объединение первых двух промежутков: $(-8; -3) \cup (-5; 2)$. Поскольку $-5$ находится внутри интервала $(-8; -3)$, эти два интервала пересекаются (на интервале $(-5; -3)$). Их объединение будет интервалом от наименьшей левой границы (-8) до наибольшей правой (2). Получаем $(-8; 2)$.

Теперь объединим полученный результат с третьим промежутком: $(-8; 2) \cup (0; 10)$. Эти интервалы также пересекаются (на интервале $(0; 2)$). Их объединение будет интервалом от наименьшей левой границы, равной -8, до наибольшей правой, равной 10.

Таким образом, объединение всех трех промежутков является интервалом от -8 до 10, не включая концы.

Ответ: $(-8; 10)$