Номер 3, страница 55, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Какие неравенства называются равносильными неравенствами?

Равносильными (или эквивалентными) неравенствами называются неравенства, множества решений которых совпадают. Это означает, что каждое решение одного неравенства является решением другого, и наоборот.

Равносильность неравенств обозначается символом $ \Leftrightarrow $. Запись «Неравенство 1 $ \Leftrightarrow $ Неравенство 2» означает, что эти два неравенства равносильны.

Пример 1:

Рассмотрим неравенства $2x + 3 > 7$ и $x > 2$.

Решим первое неравенство:

$2x > 7 - 3$

$2x > 4$

$x > 2$

Множество решений первого неравенства — это интервал $(2; +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x > 2$ — это тот же самый интервал. Поскольку множества решений совпадают, неравенства равносильны: $2x + 3 > 7 \Leftrightarrow x > 2$.

Пример 2:

Рассмотрим неравенства $x^2 < -1$ и $|x| + 5 < 0$.

Оба этих неравенства не имеют решений в множестве действительных чисел. Квадрат числа не может быть отрицательным, и модуль числа также не может быть отрицательным (значит, $|x| \geq 0$ и $|x|+5 \geq 5$). Таким образом, множество решений для каждого из этих неравенств — пустое множество ($\emptyset$). Так как множества решений совпадают, эти неравенства равносильны.

При решении неравенств выполняют равносильные преобразования, чтобы упростить их, не изменяя множество решений. Основные равносильные преобразования:

• Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

• Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (знак неравенства сохраняется).

• Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с одновременной заменой знака неравенства на противоположный ( $>$ на $<$, $\geq$ на $\leq$ и т.д.).

Ответ: Равносильными называются неравенства, множества решений которых полностью совпадают.