Номер 933, страница 51, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

933. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение числовых промежутков. Заполните таблицу:

Числовые промежутки

$[-3; 5]$ и $[-1; 9]$

$(-5; 7]$ и $[7; 12)$

$(-4; 8]$ и $[0; 10)$

$(-7; 3]$ и $[6; 15)$

Пересечение числовых промежутков

Объединение числовых промежутков

[-3; 5] и [-1; 9]

Пересечение числовых промежутков

Пересечение $ [-3; 5] \cap [-1; 9] $ — это множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам. Для этого число $\text{x}$ должно удовлетворять системе неравенств: $ \begin{cases} -3 \le x \le 5 \\ -1 \le x \le 9 \end{cases} $. Решением этой системы является промежуток, который начинается с большего из левых концов ($-1$) и заканчивается меньшим из правых концов ($\text{5}$). Таким образом, общими для них будут числа $\text{x}$, удовлетворяющие условию $ -1 \le x \le 5 $.

Ответ: $ [-1; 5] $

Объединение числовых промежутков

Объединение $ [-3; 5] \cup [-1; 9] $ — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. Так как промежутки пересекаются, их объединение будет сплошным промежутком от наименьшего значения из обоих промежутков (это $-3$) до наибольшего (это $\text{9}$). Таким образом, итоговый промежуток $ [-3; 9] $.

Ответ: $ [-3; 9] $

(-5; 7] и [7; 12)

Пересечение числовых промежутков

Пересечение $ (-5; 7] \cap [7; 12) $ — это множество чисел $\text{x}$, которые удовлетворяют одновременно условиям $ -5 < x \le 7 $ и $ 7 \le x < 12 $. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это число $\text{7}$. Оно входит в первый промежуток (так как $x \le 7$) и во второй (так как $x \ge 7$).

Ответ: $ \{7\} $

Объединение числовых промежутков

Объединение $ (-5; 7] \cup [7; 12) $ — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Первый промежуток заканчивается числом $\text{7}$ (включая его), а второй начинается с этого же числа. Следовательно, их объединение образует сплошной промежуток от $-5$ (не включая) до $12$ (не включая).

Ответ: $ (-5; 12) $

(-4; 8] и [0; 10)

Пересечение числовых промежутков

Пересечение $ (-4; 8] \cap [0; 10) $ — это множество чисел $\text{x}$, для которых верны оба неравенства: $ -4 < x \le 8 $ и $ 0 \le x < 10 $. Общим решением будет промежуток, который начинается с большего из левых концов ($\text{0}$) и заканчивается меньшим из правых концов ($\text{8}$). Таким образом, получаем $ 0 \le x \le 8 $.

Ответ: $ [0; 8] $

Объединение числовых промежутков

Объединение $ (-4; 8] \cup [0; 10) $ — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Поскольку промежутки пересекаются, их объединение будет единым промежутком, начинающимся с наименьшей границы ($-4$, не включая) и заканчивающимся наибольшей границей ($10$, не включая).

Ответ: $ (-4; 10) $

(-7; 3] и [6; 15)

Пересечение числовых промежутков

Пересечение $ (-7; 3] \cap [6; 15) $ — это множество чисел $\text{x}$, которые удовлетворяют одновременно условиям $ -7 < x \le 3 $ и $ 6 \le x < 15 $. Не существует такого числа, которое было бы одновременно меньше или равно $\text{3}$ и больше или равно $\text{6}$. Следовательно, у этих промежутков нет общих точек.

Ответ: $ \emptyset $

Объединение числовых промежутков

Объединение $ (-7; 3] \cup [6; 15) $ — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Так как между промежутками есть разрыв (числа от $\text{3}$ до $\text{6}$ не входят ни в один из них), их объединение нельзя записать в виде одного сплошного промежутка. Оно состоит из двух отдельных промежутков.

Ответ: $ (-7; 3] \cup [6; 15) $