Номер 948, страница 56, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

948. Из 9 одинаковых по виду монет одна монета по весу несколько отличается от других. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить легче или тяжелее эта монета, чем остальные?

Для решения задачи пронумеруем все монеты от 1 до 9 и разделим их на три группы по три монеты:

Группа 1: монеты {1, 2, 3}

Группа 2: монеты {4, 5, 6}

Группа 3: монеты {7, 8, 9}

Первое взвешивание

Положим на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2. Возможны два исхода:

Случай A: Весы находятся в равновесии.

Это означает, что все монеты на весах ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) имеют одинаковый, стандартный вес. Следовательно, фальшивая монета находится в Группе 3 ({7, 8, 9}). Теперь нам нужно за два взвешивания определить, какая из них фальшивая и какова она по весу.

Второе взвешивание (для случая А):

Сравним две монеты из Группы 3, например, монету 7 и монету 8.

1. Если весы в равновесии, то монеты 7 и 8 настоящие, а фальшивая — монета 9.

Третье взвешивание (для случая А.1): Сравним монету 9 с любой заведомо настоящей монетой (например, с монетой 1). Если монета 9 перевесит, значит, фальшивая монета тяжелее. Если монета 1 перевесит, значит, фальшивая монета легче.

2. Если весы не в равновесии (например, монета 7 тяжелее монеты 8), это значит, что монета 9 — настоящая. Фальшивая — либо 7 (и она тяжелее), либо 8 (и она легче).

Третье взвешивание (для случая А.2): Сравним монету 7 с заведомо настоящей монетой 9. Если они окажутся равны по весу, значит, 7 — настоящая, а фальшивая — монета 8, и она легче. Если же монета 7 окажется тяжелее монеты 9, значит, фальшивая — это монета 7, и она тяжелее.

Случай Б: Весы не в равновесии.

Допустим, Группа 1 перевесила Группу 2 ({1, 2, 3} > {4, 5, 6}). Это значит, что все монеты из Группы 3 ({7, 8, 9}) — настоящие. Фальшивая монета находится среди тех, что на весах. Логика подсказывает, что либо одна из монет {1, 2, 3} тяжелее остальных, либо одна из монет {4, 5, 6} легче остальных.

Второе взвешивание (для случая Б):

Составим новые группы для взвешивания из подозрительных монет. На левую чашу положим монеты {1, 4}, на правую — {2, 5}. Монеты {3, 6} временно отложим.

1. Если весы в равновесии, значит, все монеты на них ({1, 4, 2, 5}) — настоящие. Фальшивая монета — либо 3 (и она тяжелее), либо 6 (и она легче).

Третье взвешивание (для случая Б.1): Сравним монету 3 с любой настоящей (например, 7). Если монета 3 окажется тяжелее, значит, фальшивая монета тяжелее. Если они равны, значит, фальшивая — это монета 6, и она легче.

2. Если левая чаша перевесила ({1, 4} > {2, 5}), значит, либо монета 1 тяжелее (из первоначальной "тяжелой" группы), либо монета 5 легче (из первоначальной "легкой" группы).

Третье взвешивание (для случая Б.2): Сравним монету 1 с настоящей монетой 7. Если 1 тяжелее, то фальшивая монета тяжелее. Если они равны, то фальшивая — монета 5, и она легче.

3. Если правая чаша перевесила ({1, 4} < {2, 5}), значит, либо монета 2 тяжелее, либо монета 4 легче.

Третье взвешивание (для случая Б.3): Сравним монету 2 с настоящей монетой 7. Если 2 тяжелее, то фальшивая монета тяжелее. Если они равны, то фальшивая — монета 4, и она легче.

Таким образом, в любом из возможных сценариев мы за три взвешивания точно определяем, является ли отличающаяся монета легче или тяжелее остальных.

Ответ: Описанный выше алгоритм взвешиваний позволяет за три шага однозначно определить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем остальные.