Номер 961, страница 58, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите неравенства (960-962).

961. 1) $9 - \frac{5x+1}{2} > x+5;$

2) $1,75 + \frac{2x}{3} < x+1\frac{2}{3};$

3) $\frac{4+y}{2} - \frac{y+2}{7} < y+3;$

4) $4 + \frac{7y-3}{5} > \frac{3y+5}{4} - \frac{3y}{2}.$

1)

Решим неравенство $9 - \frac{5x+1}{2} > x+5$.

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 2:

$2 \cdot \left(9 - \frac{5x+1}{2}\right) > 2 \cdot (x+5)$

$18 - (5x+1) > 2x + 10$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед скобками:

$18 - 5x - 1 > 2x + 10$

Упростим левую часть:

$17 - 5x > 2x + 10$

Сгруппируем слагаемые с переменной $\text{x}$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-5x$ вправо, а 10 влево, меняя знаки:

$17 - 10 > 2x + 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$7 > 7x$

Разделим обе части на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$1 > x$

Запишем решение в стандартном виде:

$x < 1$

Ответ: $(-\infty; 1)$.

2)

Решим неравенство $1,75 + \frac{2x}{3} < x + 1\frac{2}{3}$.

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{7}{4} + \frac{2x}{3} < x + \frac{5}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на наименьший общий знаменатель, который равен НОК(4, 3) = 12:

$12 \cdot \left(\frac{7}{4} + \frac{2x}{3}\right) < 12 \cdot \left(x + \frac{5}{3}\right)$

$12 \cdot \frac{7}{4} + 12 \cdot \frac{2x}{3} < 12x + 12 \cdot \frac{5}{3}$

$3 \cdot 7 + 4 \cdot 2x < 12x + 4 \cdot 5$

$21 + 8x < 12x + 20$

Сгруппируем слагаемые с переменной $\text{x}$ и свободные члены:

$21 - 20 < 12x - 8x$

Упростим:

$1 < 4x$

Разделим обе части на 4:

$\frac{1}{4} < x$

Запишем решение в стандартном виде:

$x > \frac{1}{4}$ или $x > 0,25$

Ответ: $(0,25; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{4+y}{2} - \frac{y+2}{7} < y+3$.

Найдем наименьший общий знаменатель дробей. НОК(2, 7) = 14. Умножим обе части неравенства на 14:

$14 \cdot \left(\frac{4+y}{2} - \frac{y+2}{7}\right) < 14 \cdot (y+3)$

$14 \cdot \frac{4+y}{2} - 14 \cdot \frac{y+2}{7} < 14y + 42$

$7(4+y) - 2(y+2) < 14y + 42$

Раскроем скобки:

$28 + 7y - 2y - 4 < 14y + 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$24 + 5y < 14y + 42$

Сгруппируем слагаемые с переменной $\text{y}$ и свободные члены:

$5y - 14y < 42 - 24$

$-9y < 18$

Разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y > \frac{18}{-9}$

$y > -2$

Ответ: $(-2; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $4 + \frac{7y-3}{5} > \frac{3y+5}{4} - \frac{3y}{2}$.

Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьший общий знаменатель. НОК(5, 4, 2) = 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot \left(4 + \frac{7y-3}{5}\right) > 20 \cdot \left(\frac{3y+5}{4} - \frac{3y}{2}\right)$

$20 \cdot 4 + 20 \cdot \frac{7y-3}{5} > 20 \cdot \frac{3y+5}{4} - 20 \cdot \frac{3y}{2}$

$80 + 4(7y-3) > 5(3y+5) - 10(3y)$

Раскроем скобки:

$80 + 28y - 12 > 15y + 25 - 30y$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$68 + 28y > -15y + 25$

Сгруппируем слагаемые с переменной $\text{y}$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$28y + 15y > 25 - 68$

Упростим:

$43y > -43$

Разделим обе части на 43:

$y > -1$

Ответ: $(-1; +\infty)$.