Номер 962, страница 59, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите неравенства (960-962).

962.

1) $\frac{7x+2}{6}-x \leqslant \frac{5x+4}{3}-4x;$

2) $\frac{4x+1}{3} > \frac{x+1}{2} - \frac{x-3}{4};$

3) $\frac{9-5x}{2} - \frac{4x}{3} < x - \frac{3x-1}{6};$

4) $\frac{5x-3}{4} - \frac{11x}{6} \geqslant \frac{2(1-x)}{3} + \frac{3x}{2}.$

1)

Дано неравенство: $\frac{7x + 2}{6} - x \le \frac{5x + 4}{3} - 4x$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 3, то есть на 6.

$6 \cdot \frac{7x + 2}{6} - 6 \cdot x \le 6 \cdot \frac{5x + 4}{3} - 6 \cdot 4x$

Выполним умножение и сокращение:

$(7x + 2) - 6x \le 2(5x + 4) - 24x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$7x + 2 - 6x \le 10x + 8 - 24x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$x + 2 \le -14x + 8$

Перенесем слагаемые, содержащие $\text{x}$, в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую часть, меняя их знаки на противоположные:

$x + 14x \le 8 - 2$

$15x \le 6$

Разделим обе части на 15:

$x \le \frac{6}{15}$

Сократим дробь:

$x \le \frac{2}{5}$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, \frac{2}{5}]$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{5}]$.

2)

Дано неравенство: $\frac{4x + 1}{3} - x > \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{4}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 4 равно 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot (\frac{4x + 1}{3}) - 12 \cdot x > 12 \cdot (\frac{x + 1}{2}) - 12 \cdot (\frac{x - 3}{4})$

Выполним умножение и сокращение:

$4(4x + 1) - 12x > 6(x + 1) - 3(x - 3)$

Раскроем скобки:

$16x + 4 - 12x > 6x + 6 - 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$4x + 4 > 3x + 15$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$4x - 3x > 15 - 4$

$x > 11$

Решением неравенства является промежуток $(11, +\infty)$.

Ответ: $x \in (11, +\infty)$.

3)

Дано неравенство: $\frac{9 - 5x}{2} - \frac{4x}{3} < x - \frac{3x - 1}{6}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3 и 6 равно 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{9 - 5x}{2}) - 6 \cdot (\frac{4x}{3}) < 6 \cdot x - 6 \cdot (\frac{3x - 1}{6})$

Выполним умножение и сокращение:

$3(9 - 5x) - 2(4x) < 6x - (3x - 1)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$27 - 15x - 8x < 6x - 3x + 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$27 - 23x < 3x + 1$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$-23x - 3x < 1 - 27$

$-26x < -26$

Разделим обе части на -26. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-26}{-26}$

$x > 1$

Решением неравенства является промежуток $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

4)

Дано неравенство: $\frac{5x - 3}{4} - \frac{11x}{6} \ge \frac{2(1 - x)}{3} + \frac{3x}{2}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 4, 6, 3 и 2 равно 12. Умножим обе части на 12:

$12 \cdot (\frac{5x - 3}{4}) - 12 \cdot (\frac{11x}{6}) \ge 12 \cdot (\frac{2(1 - x)}{3}) + 12 \cdot (\frac{3x}{2})$

Выполним умножение и сокращение:

$3(5x - 3) - 2(11x) \ge 4 \cdot 2(1 - x) + 6(3x)$

Раскроем скобки:

$15x - 9 - 22x \ge 8(1 - x) + 18x$

$15x - 9 - 22x \ge 8 - 8x + 18x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$-7x - 9 \ge 10x + 8$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$-7x - 10x \ge 8 + 9$

$-17x \ge 17$

Разделим обе части на -17. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{17}{-17}$

$x \le -1$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.