Номер 3, страница 48, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Приведите примеры обратно пропорционально зависимых величин.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Произведение таких величин остается постоянным. Математически это выражается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $\text{x}$ и $\text{y}$ — переменные величины, а $\text{k}$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Эту зависимость также можно записать как $x \cdot y = k$.

Ниже приведены примеры обратно пропорциональных величин.

1. Скорость и время движения при постоянном расстоянии

Пусть необходимо преодолеть фиксированное расстояние $\text{S}$. Скорость движения $\text{v}$ и время $\text{t}$, затраченное на путь, связаны формулой $S = v \cdot t$. Если расстояние $\text{S}$ не меняется, то произведение скорости и времени является постоянной величиной ($v \cdot t = const$).

Пример: Чтобы проехать 120 км, автомобилю со скоростью 60 км/ч потребуется $120 / 60 = 2$ часа. Если увеличить скорость в 2 раза до 120 км/ч, то время, наоборот, уменьшится в 2 раза и составит $120 / 120 = 1$ час. Произведение скорости и времени в обоих случаях постоянно: $60 \cdot 2 = 120$ и $120 \cdot 1 = 120$.

Ответ: При постоянном расстоянии скорость движения и время, затраченное на путь, являются обратно пропорциональными величинами.

2. Количество работников и время выполнения фиксированного объема работы

Если имеется определенный объем работы $\text{A}$, который нужно выполнить, то количество работников $\text{N}$ (при условии их одинаковой производительности) и время $\text{t}$, необходимое для выполнения этой работы, находятся в обратной зависимости. Чем больше работников, тем меньше времени потребуется.

Пример: Бригада из 3 рабочих строит забор за 12 дней. Если нанять бригаду из 9 рабочих (в 3 раза больше), то тот же забор они построят за $12 / 3 = 4$ дня (в 3 раза быстрее). Общее количество человеко-дней остается неизменным: $3 \cdot 12 = 36$ и $9 \cdot 4 = 36$.

Ответ: При фиксированном объеме работы количество работников и время ее выполнения являются обратно пропорциональными величинами.

3. Цена товара и его количество, которое можно купить на определенную сумму денег

Если у вас есть фиксированная сумма денег $\text{M}$, то цена одного товара $\text{P}$ и количество товара $\text{Q}$, которое вы можете на эти деньги купить, обратно пропорциональны. Формула: $M = P \cdot Q$.

Пример: На 500 рублей можно купить $500 / 100 = 5$ шоколадок по цене 100 рублей за штуку. Если цена шоколадки снизится в 2 раза до 50 рублей, то на ту же сумму можно будет купить $500 / 50 = 10$ шоколадок, то есть в 2 раза больше. Сумма покупки остается постоянной: $100 \cdot 5 = 500$ и $50 \cdot 10 = 500$.

Ответ: При наличии фиксированной суммы денег цена товара и его количество, которое можно приобрести, являются обратно пропорциональными величинами.

4. Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади

Площадь прямоугольника $\text{S}$ вычисляется как произведение его длины $\text{a}$ и ширины $\text{b}$: $S = a \cdot b$. Если площадь прямоугольника должна оставаться постоянной, то при увеличении длины его ширина должна уменьшаться, и наоборот.

Пример: Прямоугольник имеет площадь 36 см². Если его длина равна 9 см, то ширина составит $36 / 9 = 4$ см. Если же длину уменьшить до 6 см, то для сохранения той же площади ширина должна увеличиться до $36 / 6 = 6$ см. Произведение длины и ширины постоянно: $9 \cdot 4 = 36$ и $6 \cdot 6 = 36$.

Ответ: При постоянной площади длина и ширина прямоугольника являются обратно пропорциональными величинами.