Номер 2, страница 12, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Какие уравнения называют равносильными уравнениями?

2. Какие уравнения называют равносильными уравнениями?

Два уравнения с одной или несколькими переменными называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, каждый корень (решение) первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. В этом случае множество решений для каждого из них является пустым множеством ($ \emptyset $).

Для обозначения равносильности уравнений используется знак $ \Leftrightarrow $.

Примеры равносильных уравнений:

1. Уравнения $x + 5 = 8$ и $x = 3$ равносильны, так как оба имеют единственный корень $x = 3$. Множество решений для обоих — $\{3\}$.

2. Уравнения $x^2 = 9$ и $|x| = 3$ равносильны, так как оба имеют два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Множество решений для обоих — $\{-3, 3\}$.

3. Уравнения $x^2 = -1$ (в области действительных чисел) и $x + 2 = x$ равносильны, так как ни одно из них не имеет корней. Множество решений для обоих — $\emptyset$.

Пример неравносильных уравнений:

Уравнения $x^2 = 4x$ и $x = 4$. Первое уравнение $x^2 - 4x = 0$, или $x(x-4)=0$, имеет корни $x=0$ и $x=4$. Второе уравнение имеет только один корень $x=4$. Поскольку множества решений $\{0, 4\}$ и $\{4\}$ не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Переход от одного уравнения к другому, ему равносильному, называется равносильным преобразованием. Основные равносильные преобразования:

• Перенос любого члена уравнения из одной части в другую с изменением его знака на противоположный.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое определено и не обращается в нуль при всех допустимых значениях переменной.

Ответ: Равносильными уравнениями называются уравнения, множества решений которых полностью совпадают. Уравнения, не имеющие решений, также являются равносильными.