Номер 3, страница 63, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как найти решение системы линейных неравенств с одной переменной?

Чтобы найти решение системы линейных неравенств с одной переменной, то есть найти множество всех значений переменной, которые удовлетворяют каждому из неравенств системы одновременно, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Решить каждое неравенство системы по отдельности. Каждое линейное неравенство преобразуется к одному из простейших видов: $x > a$, $x < a$, $x \ge a$ или $x \le a$. Это достигается с помощью равносильных преобразований: переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с изменением знака, а также умножения или деления обеих частей на одно и то же положительное число. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (например, $>$ на $<$, а $\le$ на $\ge$).

2. Изобразить полученные решения на общей числовой оси. На одной числовой прямой отмечаются все граничные точки ($\text{a}$), найденные на предыдущем шаге. Точка изображается закрашенной ($\bullet$), если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), и выколотой ($\circ$), если неравенство строгое ($>$ или $<$). Затем для каждого неравенства штриховкой показывается соответствующий ему числовой промежуток (например, справа от точки для $x > a$ и слева для $x < a$).

3. Найти пересечение (общую часть) решений. Решением системы является та область на числовой оси, где штриховки всех неравенств пересекаются (накладываются друг на друга). Это и есть искомое множество чисел.

4. Записать итоговый ответ. Полученное пересечение записывается в виде числового промежутка (например, $(a; b]$, $[c; +\infty)$) или в виде соответствующего неравенства (например, $a < x \le b$).

Пример:

Найти решение системы неравенств:

$ \begin{cases} 5x + 7 > 2x + 1 \\ 4x - 3 \le 13 \end{cases} $

1. Решаем каждое неравенство:

Первое: $5x - 2x > 1 - 7 \implies 3x > -6 \implies x > -2$.

Второе: $4x \le 13 + 3 \implies 4x \le 16 \implies x \le 4$.

2. Изображаем решения на числовой оси. Получили два условия: $x > -2$ и $x \le 4$. На оси отмечаем выколотую точку -2 и закрашенную точку 4. Штрихуем область справа от -2 и область слева от 4.

3. Находим пересечение штриховок. Общая заштрихованная область находится между точками -2 и 4.

4. Записываем ответ. Поскольку точка -2 не включена в решение, а точка 4 включена, решение системы можно записать как двойное неравенство $-2 < x \le 4$ или как числовой промежуток $(-2; 4]$.

Возможные исходы решения системы:

• Числовой промежуток: интервал $(a, b)$, отрезок $[a, b]$, полуинтервал $(a, b]$ или $[a, b)$, или луч, например $(-\infty, c]$ или $(d, +\infty)$.

• Пустое множество ($\emptyset$): если промежутки-решения не имеют общих точек (штриховки не пересекаются). Например, для системы $\begin{cases} x < 1 \\ x > 3 \end{cases}$ решений нет.

• Одно число: если решением является единственная точка. Например, для системы $\begin{cases} x \le 5 \\ x \ge 5 \end{cases}$ единственным решением является $x = 5$.

Ответ: Чтобы найти решение системы линейных неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство системы по отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений. Это пересечение, которое удобно находить с помощью изображения решений на общей числовой оси, и является итоговым решением системы.