Номер 2, страница 186, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

2. Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными вида $ax + by + c = 0$, где $\text{a}$, $\text{b}$, $\text{c}$ – некоторые числа, и хотя бы один из коэффициентов $\text{a}$ или $\text{b}$ не равен нулю, является прямая линия. Согласно аксиоме геометрии, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Следовательно, для построения графика достаточно найти координаты двух любых точек, которые удовлетворяют этому уравнению.

Общий алгоритм построения

Для построения графика линейного уравнения с двумя переменными, например, $\text{x}$ и $\text{y}$, следует выполнить следующие шаги:

1. Выбрать любое удобное значение для одной переменной (например, $\text{x}$). Чаще всего для простоты расчетов выбирают $x=0$.
2. Подставить это значение в исходное уравнение.
3. Решить получившееся уравнение относительно второй переменной (в нашем случае найти $\text{y}$). Таким образом, вы найдете координаты первой точки $(x_1, y_1)$.
4. Для нахождения второй точки повторить шаги 1-3, но с другим значением переменной. Например, можно взять $y=0$ или любое другое удобное число. В результате вы получите координаты второй точки $(x_2, y_2)$.
5. Начертить систему координат, отметить на ней найденные две точки.
6. С помощью линейки провести прямую через эти две точки. Эта прямая и является графиком данного уравнения.

Пример: Построим график уравнения $3x + 2y - 6 = 0$.

• Шаг 1: Найдем первую точку. Возьмем $x = 0$. Подставим в уравнение: $3 \cdot 0 + 2y - 6 = 0$.
• Шаг 2: Решим уравнение: $2y - 6 = 0 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. Первая точка имеет координаты $(0; 3)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью $Oy$.
• Шаг 3: Найдем вторую точку. Возьмем $y = 0$. Подставим в уравнение: $3x + 2 \cdot 0 - 6 = 0$.
• Шаг 4: Решим уравнение: $3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. Вторая точка имеет координаты $(2; 0)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью $Ox$.
• Шаг 5: Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(2; 0)$ и проводим через них прямую.

Частные случаи

• Если в уравнении $b=0$ (вид $ax+c=0$), то оно преобразуется к виду $x = -c/a$. Графиком является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-c/a; 0)$ на оси $Ox$. Например, график уравнения $x=4$ — это вертикальная прямая.
• Если в уравнении $a=0$ (вид $by+c=0$), то оно преобразуется к виду $y = -c/b$. Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -c/b)$ на оси $Oy$. Например, график уравнения $y=-1$ — это горизонтальная прямая.
• Если в уравнении $c=0$ (вид $ax+by=0$), то график обязательно проходит через начало координат, точку $(0; 0)$. Это наша первая точка. Для нахождения второй точки достаточно подставить любое ненулевое значение $\text{x}$ (например, $x=1$) и найти соответствующий $\text{y}$.

Ответ: Для построения графика линейного уравнения с двумя переменными нужно найти координаты двух различных точек, удовлетворяющих этому уравнению, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.