Номер 1024, страница 219 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 36. Вычитание рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1024, страница 219.

Условие.

1024. Решите уравнение:

1) $| |x| - 8 | = 2;$

2) $| |x| + 2 | = 7.$

Решение.

Решение 2.

1)

Решим уравнение $||x| - 8| = 2$.

По определению модуля, если $|A| = b$ и $b \ge 0$, то это равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

В нашем случае, подмодульное выражение $A = |x| - 8$, а $b = 2$. Таким образом, получаем два возможных случая:

1) $|x| - 8 = 2$

2) $|x| - 8 = -2$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

В первом случае:

$|x| - 8 = 2$

Перенесем 8 в правую часть:

$|x| = 2 + 8$

$|x| = 10$

Это уравнение имеет два корня: $x = 10$ и $x = -10$.

Во втором случае:

$|x| - 8 = -2$

Перенесем 8 в правую часть:

$|x| = -2 + 8$

$|x| = 6$

Это уравнение также имеет два корня: $x = 6$ и $x = -6$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $-10; -6; 6; 10$.

2)

Решим уравнение $||x| + 2| = 7$.

Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $|x| + 2$ всегда будет положительным ($|x| + 2 \ge 2$).

Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому мы можем убрать внешние знаки модуля:

$||x| + 2| = |x| + 2$

Таким образом, исходное уравнение упрощается до:

$|x| + 2 = 7$

Теперь решим это уравнение. Перенесем 2 в правую часть:

$|x| = 7 - 2$

$|x| = 5$

По определению модуля, это уравнение имеет два корня:

$x = 5$ и $x = -5$.

Другой способ: Можно было, как и в первом задании, рассмотреть два случая:

1) $|x| + 2 = 7 \implies |x| = 5 \implies x = 5$ или $x = -5$.

2) $|x| + 2 = -7 \implies |x| = -9$. Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-5; 5$.