Номер 1051, страница 225 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 37. Умножение рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1051, страница 225.

Условие.

1051. Какое из выражений $-x^2$, $(-x)^2$, $x^3$ при любых значениях $x$ принимает такие значения:

1) положительные;

2) отрицательные;

3) неотрицательные;

4) неположительные?

Решение.

Решение 2.

Для ответа на вопрос проанализируем каждое из предложенных выражений: $-x^2$, $(-x)^2$, $x^3$ при любых действительных значениях $x$.

• Выражение $-x^2$: так как $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$), то выражение $-x^2$ всегда будет меньше или равно нулю ($-x^2 \le 0$). То есть оно принимает неположительные значения.
• Выражение $(-x)^2$: используя свойство степени, получаем $(-x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 = x^2$. Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$), это выражение принимает неотрицательные значения.
• Выражение $x^3$: знак этого выражения зависит от знака $x$. Если $x > 0$, то $x^3 > 0$. Если $x < 0$, то $x^3 < 0$. Если $x=0$, то $x^3=0$. Таким образом, это выражение может быть и положительным, и отрицательным, и равным нулю.

Теперь рассмотрим каждый пункт вопроса.

1) положительные;

Положительные значения — это значения, строго большие нуля ($> 0$). Ни одно из выражений не принимает только положительные значения. Выражение $-x^2$ неположительно. Выражение $(-x)^2$ равно нулю при $x=0$. Выражение $x^3$ может быть отрицательным.
Ответ: ни одно из выражений.

2) отрицательные;

Отрицательные значения — это значения, строго меньшие нуля ($< 0$). Ни одно из выражений не принимает только отрицательные значения. Выражение $-x^2$ равно нулю при $x=0$. Выражение $(-x)^2$ неотрицательно. Выражение $x^3$ может быть положительным.
Ответ: ни одно из выражений.

3) неотрицательные;

Неотрицательные значения — это значения, которые больше или равны нулю ($ \ge 0 $). Как было показано выше, выражение $(-x)^2 = x^2$ всегда принимает значения, большие или равные нулю.
Ответ: $(-x)^2$.

4) неположительные?

Неположительные значения — это значения, которые меньше или равны нулю ($ \le 0 $). Как было показано выше, выражение $-x^2$ всегда принимает значения, меньшие или равные нулю, так как $x^2 \ge 0$.
Ответ: $-x^2$.