Номер 1119, страница 238 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 39. Распределительное свойство умножения. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1119, страница 238.

Условие.

1119. Представьте в виде разности двух дробей с числителем 1 дробь:

1) $ \frac{1}{12} $;

2) $ \frac{2}{63} $;

3) $ \frac{1}{4} $;

4) $ \frac{3}{28} $;

5) $ \frac{1}{24} $.

Решение.

Решение 2.

1)Чтобы представить дробь $\frac{1}{12}$ в виде разности двух дробей с числителем 1, ищем два числа $a$ и $b$ такие, что $\frac{1}{12} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем: $\frac{1}{12} = \frac{b-a}{ab}$.Это равенство будет верным, если мы найдем такие $a$ и $b$, что $b-a=1$ и $ab=12$.Это означает, что нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 12.Такими числами являются 3 и 4, поскольку $3 \cdot 4 = 12$ и $4 - 3 = 1$.Следовательно, $a=3$ и $b=4$.Проверим: $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.

2)Ищем представление дроби $\frac{2}{63}$ в виде $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.Это равносильно уравнению $\frac{2}{63} = \frac{b-a}{ab}$.Попробуем найти такие целые числа $a$ и $b$, для которых $b-a=2$ и $ab=63$.Для этого нужно разложить знаменатель 63 на два множителя, разность которых равна числителю 2.Разложим 63 на множители: $63 = 1 \cdot 63 = 3 \cdot 21 = 7 \cdot 9$.Рассмотрим разности этих множителей: $63-1=62$, $21-3=18$, $9-7=2$.Пара чисел 7 и 9 удовлетворяет нашим условиям: их произведение равно 63, а разность равна 2.Следовательно, можно взять $a=7$ и $b=9$.Проверка: $\frac{1}{7} - \frac{1}{9} = \frac{9-7}{7 \cdot 9} = \frac{2}{63}$.
Ответ: $\frac{2}{63} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$.

3)Требуется найти такие целые числа $a$ и $b$, что $\frac{1}{4} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.Простой подбор множителей знаменателя здесь не работает, так как множители 4 (пары 1,4 и 2,2) не имеют разность 1.Воспользуемся более общим методом. Выразим $b$ через $a$:$\frac{1}{b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{4} = \frac{4-a}{4a}$$b = \frac{4a}{4-a}$Чтобы $b$ было целым положительным числом, $a$ должно быть целым положительным числом, меньшим 4 (так как $4-a > 0$). Проверим возможные значения $a=1, 2, 3$.При $a=1$: $b = \frac{4 \cdot 1}{4-1} = \frac{4}{3}$, не целое.При $a=2$: $b = \frac{4 \cdot 2}{4-2} = \frac{8}{2} = 4$, целое.Этот вариант подходит.Проверка: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$.(Можно было также проверить $a=3$, что дало бы $b=12$, и это тоже верное решение: $\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$).
Ответ: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.

4)Представим дробь $\frac{3}{28}$ в виде $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.Это уравнение можно записать как $\frac{3}{28} = \frac{b-a}{ab}$.Найдем такие целые числа $a$ и $b$, для которых $b-a=3$ и $ab=28$.Для этого разложим знаменатель 28 на два множителя, разность которых равна числителю 3.Множители числа 28: $1 \cdot 28$, $2 \cdot 14$, $4 \cdot 7$.Проверим разности: $28-1=27$, $14-2=12$, $7-4=3$.Пара чисел 4 и 7 подходит, так как $7 \cdot 4 = 28$ и $7-4=3$.Полагаем $a=4$ и $b=7$.Проверка: $\frac{1}{4} - \frac{1}{7} = \frac{7-4}{4 \cdot 7} = \frac{3}{28}$.
Ответ: $\frac{3}{28} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}$.

5)Нужно представить дробь $\frac{1}{24}$ в виде разности $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.Это равносильно уравнению $\frac{b-a}{ab} = \frac{1}{24}$.Простой подбор множителей знаменателя 24, разность которых равна 1, невозможен.Однако, мы можем представить дробь $\frac{1}{24}$ как эквивалентную ей дробь, например, домножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{1}{24} = \frac{2}{48}$.Теперь для дроби $\frac{2}{48}$ ищем $a$ и $b$ такие, что $b-a=2$ и $ab=48$.Из первого уравнения $b=a+2$. Подставляем во второе: $a(a+2)=48$, что приводит к квадратному уравнению $a^2+2a-48=0$.Решая уравнение, находим корни $a_1=6$ и $a_2=-8$. Так как знаменатель дроби должен быть положительным, выбираем $a=6$.Тогда $b = a+2 = 6+2 = 8$.Проверка: $\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{8-6}{6 \cdot 8} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.
Ответ: $\frac{1}{24} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$.