Номер 1122, страница 238 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 39. Распределительное свойство умножения. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1122, страница 238.

Условие.

1122. В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трёх соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Решение.

Решение 2.

Обозначим восемь различных чисел, записанных в вершинах куба, как $x_1, x_2, \dots, x_8$. Каждая вершина куба имеет ровно три соседние вершины, соединенные с ней ребрами.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что ни одно из чисел не меньше среднего арифметического трёх своих соседей. Это означает, что для каждого числа $x_i$ и его соседей $x_a, x_b, x_c$ выполняется неравенство: $x_i \ge \frac{x_a + x_b + x_c}{3}$

Запишем это неравенство для каждой из 8 вершин, предварительно умножив на 3:

$3x_1 \ge (\text{сумма чисел в соседних вершинах для } x_1)$
$3x_2 \ge (\text{сумма чисел в соседних вершинах для } x_2)$
...
$3x_8 \ge (\text{сумма чисел в соседних вершинах для } x_8)$

Теперь сложим все восемь этих неравенств. Сумма левых частей будет равна $3(x_1 + x_2 + \dots + x_8) = 3\sum_{i=1}^{8} x_i$.

Рассмотрим сумму правых частей. Это сумма всех чисел в соседних вершинах, взятая по всем вершинам куба. Каждая вершина $v_k$ с числом $x_k$ является соседней ровно для трёх других вершин. Следовательно, каждое число $x_k$ в сумме правых частей встретится ровно 3 раза. Таким образом, сумма правых частей также равна $3(x_1 + x_2 + \dots + x_8) = 3\sum_{i=1}^{8} x_i$.

Сложив неравенства, мы получаем: $3\sum_{i=1}^{8} x_i \ge 3\sum_{i=1}^{8} x_i$

Это неравенство может выполняться только как равенство. Равенство в сумме неравенств одного знака возможно только в том случае, если каждое из исходных неравенств на самом деле было равенством. То есть, для каждой вершины $i$ должно выполняться: $x_i = \frac{x_a + x_b + x_c}{3}$ Это означает, что каждое число в вершине куба является точным средним арифметическим своих трёх соседей.

Теперь найдём противоречие. Так как все восемь чисел по условию различны, среди них обязательно есть наименьшее. Обозначим это число как $x_{min}$. Пусть оно записано в вершине $V_{min}$, а в соседних с ней вершинах записаны числа $x_a, x_b, x_c$.

По определению $x_{min}$ — это наименьшее число, и все числа различны, поэтому: $x_a > x_{min}$
$x_b > x_{min}$
$x_c > x_{min}$

Сложим эти три строгих неравенства: $x_a + x_b + x_c > 3x_{min}$

Разделим обе части на 3: $\frac{x_a + x_b + x_c}{3} > x_{min}$

Это означает, что среднее арифметическое соседей числа $x_{min}$ строго больше самого $x_{min}$. Но это противоречит нашему выводу о том, что для каждой вершины, включая $V_{min}$, число должно быть равно среднему арифметическому своих соседей ($x_{min} = \frac{x_a + x_b + x_c}{3}$).

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, должно существовать хотя бы одно число в вершине куба, которое меньше среднего арифметического трёх своих соседей.

Ответ: Что и требовалось доказать.