Номер 1141, страница 242 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 40. Деление рациональных чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1141, страница 242.

Условие.

1141. Вместо звёздочек поставьте такие цифры (вместо одной звёздочки – одну цифру), чтобы:

1) число *4* делилось нацело на 3 и на 10;

2) число 12*4* делилось нацело на 9 и на 5;

3) число 67* делилось нацело на 2 и на 3.

Найдите все возможные решения.

Решение.

Решение 2.

1) Для того чтобы число $*4*$ делилось нацело на 10, его последняя цифра должна быть 0. Таким образом, число имеет вид $*40$.
Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Обозначим первую неизвестную цифру как $x$. Тогда сумма цифр нашего числа равна $x + 4 + 0 = x + 4$.
Эта сумма должна делиться на 3. Так как $x$ — первая цифра числа, она не может быть равна 0. Переберем возможные значения $x$ от 1 до 9:

• Если $x=1$, сумма $1+4=5$, не делится на 3.
• Если $x=2$, сумма $2+4=6$, делится на 3. Получаем число 240.
• Если $x=3$, сумма $3+4=7$, не делится на 3.
• Если $x=4$, сумма $4+4=8$, не делится на 3.
• Если $x=5$, сумма $5+4=9$, делится на 3. Получаем число 540.
• Если $x=6$, сумма $6+4=10$, не делится на 3.
• Если $x=7$, сумма $7+4=11$, не делится на 3.
• Если $x=8$, сумма $8+4=12$, делится на 3. Получаем число 840.
• Если $x=9$, сумма $9+4=13$, не делится на 3.

Ответ: 240, 540, 840.

2) Чтобы число $12*4*$ делилось нацело на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5.
Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. Обозначим неизвестные цифры как $x$ и $y$, тогда число имеет вид $12x4y$. Сумма его цифр равна $1 + 2 + x + 4 + y = 7 + x + y$.
Рассмотрим два случая для последней цифры $y$.
Случай 1: $y = 0$
Сумма цифр становится $7 + x + 0 = 7 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Так как $x$ - это цифра от 0 до 9, единственное подходящее значение $x=2$, потому что $7+2=9$. Получаем число 12240.
Случай 2: $y = 5$
Сумма цифр становится $7 + x + 5 = 12 + x$. Эта сумма должна делиться на 9. Ближайшее число, большее 12 и кратное 9, это 18. Тогда $12+x=18$, откуда $x=6$. Получаем число 12645.
Ответ: 12240, 12645.

3) Чтобы число $67*$ делилось нацело на 2, его последняя цифра должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8).
Чтобы это же число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Обозначим последнюю цифру как $x$. Сумма цифр равна $6 + 7 + x = 13 + x$.
Теперь подставим возможные четные значения $x$ и проверим, делится ли сумма $13+x$ на 3:

• Если $x=0$, сумма $13+0=13$, не делится на 3.
• Если $x=2$, сумма $13+2=15$, делится на 3. Получаем число 672.
• Если $x=4$, сумма $13+4=17$, не делится на 3.
• Если $x=6$, сумма $13+6=19$, не делится на 3.
• Если $x=8$, сумма $13+8=21$, делится на 3. Получаем число 678.

Ответ: 672, 678.