Номер 1225, страница 257 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 43. Перпендикулярные прямые. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1225, страница 257.

Условие.

1225. Начертите треугольник: 1) остроугольный; 2) тупоугольный; 3) прямоугольный. Проведите через каждую вершину треугольника прямую, перпендикулярную противоположной стороне.

Решение.

Решение 2.

1) остроугольный

Начертим остроугольный треугольник $ABC$, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$).

Чтобы провести прямую через каждую вершину, перпендикулярную противоположной стороне, нужно построить высоты треугольника.

• Из вершины $A$ опускаем перпендикуляр $AH_A$ на сторону $BC$. Прямая $AH_A$ — первая искомая прямая.
• Из вершины $B$ опускаем перпендикуляр $BH_B$ на сторону $AC$. Прямая $BH_B$ — вторая искомая прямая.
• Из вершины $C$ опускаем перпендикуляр $CH_C$ на сторону $AB$. Прямая $CH_C$ — третья искомая прямая.

В остроугольном треугольнике все три высоты (перпендикуляра) располагаются внутри треугольника и пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Ответ: Построены три прямые, проходящие через вершины остроугольного треугольника и перпендикулярные противолежащим сторонам. Все три прямые пересекаются в одной точке внутри треугольника.

2) тупоугольный

Начертим тупоугольный треугольник $ABC$, у которого угол при вершине $B$ тупой (то есть больше $90^\circ$).

Построим высоты этого треугольника.

• Из вершины $B$ (вершины тупого угла) опускаем перпендикуляр $BH_B$ на сторону $AC$. Эта высота будет находиться внутри треугольника.
• Чтобы провести прямую из вершины $A$ перпендикулярно стороне $BC$, необходимо продлить сторону $BC$ за вершину $C$. Затем из точки $A$ опускаем перпендикуляр $AH_A$ на продолжение прямой $BC$. Эта высота окажется вне треугольника.
• Аналогично, для проведения прямой из вершины $C$ перпендикулярно стороне $AB$, продлеваем сторону $AB$ за вершину $B$ и опускаем перпендикуляр $CH_C$ из точки $C$ на продолжение прямой $AB$. Эта высота также будет находиться вне треугольника.

Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая для тупоугольного треугольника всегда лежит вне его.

Ответ: Построены три прямые, проходящие через вершины тупоугольного треугольника и перпендикулярные противолежащим сторонам (или их продолжениям). Одна прямая (высота из вершины тупого угла) пересекает противолежащую сторону, две другие — их продолжения. Все три прямые пересекаются в одной точке вне треугольника.

3) прямоугольный

Начертим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.

Построим высоты этого треугольника.

• Прямая, проходящая через вершину $A$ и перпендикулярная противоположной стороне $BC$, — это прямая, содержащая катет $AC$, так как $AC \perp BC$ по определению прямоугольного треугольника.
• Прямая, проходящая через вершину $B$ и перпендикулярная противоположной стороне $AC$, — это прямая, содержащая катет $BC$, так как $BC \perp AC$.
• Прямая, проходящая через вершину $C$ (вершину прямого угла) и перпендикулярная гипотенузе $AB$, — это высота $CH_C$, опущенная на гипотенузу.

Таким образом, две из трёх искомых прямых совпадают со сторонами треугольника (катетами). Все три прямые (высоты) пересекаются в одной точке — вершине прямого угла $C$.

Ответ: Построены три прямые, проходящие через вершины прямоугольного треугольника и перпендикулярные противолежащим сторонам. Две из этих прямых совпадают с катетами треугольника. Все три прямые пересекаются в вершине прямого угла.