Номер 1229, страница 257 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 43. Перпендикулярные прямые. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1229, страница 257.

Условие.

1229. Начертите четырёхугольник $ABCD$, в котором:

1) $AB \perp AD$;

2) $AB \perp AD, AB \perp BC$;

3) $AB \perp AD, BC \perp CD$.

Решение.

Решение 2.

1) Условие $AB \perp AD$ означает, что стороны $AB$ и $AD$ четырёхугольника перпендикулярны, то есть образуют прямой угол. Угол при вершине $A$ должен быть равен $90^\circ$. Остальные углы и стороны могут быть произвольными.
Порядок построения:
1. Провести два перпендикулярных луча из одной точки, которую назовём $A$.
2. На этих лучах отложить отрезки $AB$ и $AD$ произвольной длины.
3. Выбрать точку $C$ в произвольном месте так, чтобы она не лежала на прямых, содержащих отрезки $AB$ и $AD$, и чтобы фигура $ABCD$ была четырёхугольником.
4. Последовательно соединить точки $A, B, C$ и $D$.
Полученный четырёхугольник $ABCD$ будет иметь прямой угол $\angle A$.
Ответ: Построен четырёхугольник, у которого угол при вершине A прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).

2) Условия $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$ означают, что сторона $AB$ перпендикулярна как стороне $AD$, так и стороне $BC$. Следовательно, углы при вершинах $A$ и $B$ должны быть прямыми: $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle ABC = 90^\circ$.
Из теории геометрии известно, что если две прямые (в нашем случае $AD$ и $BC$) перпендикулярны третьей прямой ($AB$), то они параллельны между собой: $AD \parallel BC$. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет, называется трапецией. Поскольку у этой трапеции есть прямые углы при боковой стороне $AB$, она является прямоугольной трапецией. Если же окажется, что $AD = BC$, то четырёхугольник будет прямоугольником.
Порядок построения:
1. Начертить отрезок $AB$.
2. Из точек $A$ и $B$ в одну и ту же сторону (полуплоскость) провести лучи, перпендикулярные отрезку $AB$.
3. На луче, выходящем из точки $A$, отложить отрезок $AD$.
4. На луче, выходящем из точки $B$, отложить отрезок $BC$.
5. Соединить точки $D$ и $C$.
Ответ: Полученный четырёхугольник $ABCD$ является прямоугольной трапецией, у которой основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям.

3) Условия $AB \perp AD$ и $BC \perp CD$ означают, что в четырёхугольнике $ABCD$ есть два прямых угла при противоположных вершинах $A$ и $C$: $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle BCD = 90^\circ$.
Сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $\angle DAB + \angle BCD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это является достаточным условием для того, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность. При этом углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$ будут вписанными и опираться на диагональ $BD$. Так как эти углы прямые, то они опираются на диаметр. Следовательно, диагональ $BD$ является диаметром описанной окружности.
Порядок построения:
1. Начертить окружность произвольного радиуса.
2. Провести её диаметр и обозначить его концы как $B$ и $D$.
3. Выбрать на одной из полуокружностей произвольную точку $A$ (не совпадающую с $B$ или $D$).
4. Выбрать на другой полуокружности произвольную точку $C$ (не совпадающую с $B$ или $D$).
5. Последовательно соединить точки $A, B, C$ и $D$.
Ответ: Построен четырёхугольник, у которого противоположные углы при вершинах A и C являются прямыми ($\angle DAB = 90^\circ, \angle BCD = 90^\circ$).