Номер 1288, страница 273 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 45. Параллельные прямые. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1288, страница 273.

Условие.

1288. Начертите шестиугольник, две стороны которого лежат на одной прямой, а каждая из четырёх остальных сторон параллельна какой-либо другой стороне.

Решение.

Решение 2.

Для построения шестиугольника, удовлетворяющего заданным условиям, необходимо следовать определённому алгоритму. Сначала проанализируем эти условия.

Анализ условий

• Шестиугольник — это многоугольник с шестью сторонами и шестью вершинами. Обозначим его вершины последовательно: $A, B, C, D, E, F$.
• Две стороны лежат на одной прямой. Пусть это будут противолежащие стороны $AB$ и $DE$. Это означает, что все четыре вершины $A, B, D, E$ лежат на одной прямой.
• Каждая из четырёх остальных сторон ($BC, CD, EF, FA$) параллельна какой-либо другой стороне. Из этого следует, что эти четыре стороны должны образовывать две пары параллельных сторон. В шестиугольнике естественно предположить, что параллельными будут противолежащие стороны: $BC \parallel EF$ и $CD \parallel FA$.

Пошаговое построение

1. Начертите произвольную прямую $L$.
2. Выберите на этой прямой четыре различные точки, которые будут вершинами шестиугольника. Расположим их для определённости в последовательности $A, B, E, D$. Таким образом, отрезки $AB$ и $ED$ станут двумя сторонами шестиугольника, лежащими на прямой $L$.
3. Через точки $A$ и $D$ проведите две параллельные друг другу прямые $m_1$ и $m_2$ ($m_1 \parallel m_2$).
4. Через точки $B$ и $E$ проведите две другие параллельные друг другу прямые $n_1$ и $n_2$ ($n_1 \parallel n_2$).
5. Точка $C$, пятая вершина, находится на пересечении прямых $n_1$ и $m_2$.
6. Точка $F$, шестая вершина, находится на пересечении прямых $m_1$ и $n_2$.
7. Соединив последовательно вершины $A, B, C, D, E, F, A$, получим искомый шестиугольник.

Обоснование

Построенная фигура $ABCDEF$ является шестиугольником, так как у неё шесть вершин. Две его стороны, $AB$ и $ED$, по построению лежат на одной прямой $L$. Проверим параллельность остальных четырёх сторон:

• Сторона $FA$ лежит на прямой $m_1$, а сторона $CD$ — на прямой $m_2$. Так как по построению $m_1 \parallel m_2$, то и стороны $FA \parallel CD$.
• Сторона $BC$ лежит на прямой $n_1$, а сторона $EF$ — на прямой $n_2$. Так как по построению $n_1 \parallel n_2$, то и стороны $BC \parallel EF$.

Все условия задачи выполнены.

Пример построения на координатной плоскости

Для наглядности построим такой шестиугольник, используя систему координат. Пусть прямая $L$ совпадает с осью абсцисс ($y=0$).

• Выберем координаты вершин на оси $L$: $A(0, 0)$, $B(1, 0)$, $E(2, 0)$ и $D(3, 0)$.
• В качестве пары параллельных прямых $m_1$ и $m_2$ возьмём вертикальные прямые, проходящие через точки $A$ и $D$: $x=0$ и $x=3$.
• В качестве пары параллельных прямых $n_1$ и $n_2$ возьмём прямые с угловым коэффициентом $-1$, проходящие через точки $B$ и $E$: $y = -(x - 1)$ и $y = -(x - 2)$.
• Найдём координаты оставшихся вершин:
  • Вершина $C$ является точкой пересечения прямых $y = -(x - 1)$ и $x=3$. Подставляя $x=3$ в уравнение, получаем $y = -(3 - 1) = -2$. Координаты точки $C(3, -2)$.
  • Вершина $F$ является точкой пересечения прямых $x=0$ и $y = -(x - 2)$. Подставляя $x=0$ в уравнение, получаем $y = -(0 - 2) = 2$. Координаты точки $F(0, 2)$.

В результате мы получили шестиугольник с вершинами $A(0,0), B(1,0), C(3,-2), D(3,0), E(2,0), F(0,2)$, который полностью удовлетворяет условиям задачи.

На рисунке выше изображён пример такого шестиугольника. Стороны $AB$ и $ED$ лежат на горизонтальной оси. Стороны $FA$ и $CD$ — вертикальны, следовательно, они параллельны. Стороны $BC$ и $EF$ имеют одинаковый наклон ($k=-1$), следовательно, они также параллельны.

Ответ: Чтобы начертить требуемый шестиугольник, можно взять прямую, отметить на ней четыре точки (например, $A, B, E, D$), которые зададут две стороны ($AB$ и $ED$) на этой прямой. Затем через концы этих отрезков провести две пары параллельных прямых (одна пара через $A$ и $D$, другая — через $B$ и $E$). Точки пересечения этих прямых дадут две недостающие вершины шестиугольника.