Номер 1300, страница 278 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1300, страница 278.

Условие.

1300. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A (-1; -3)$, $B (3; 1)$, $C (0; 4)$, $D (3; -2).$

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти координаты точки пересечения отрезков AB и CD, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти уравнение прямой, на которой лежит отрезок AB.
2. Найти уравнение прямой, на которой лежит отрезок CD.
3. Решить систему из этих двух уравнений, чтобы найти координаты точки пересечения прямых.
4. Убедиться, что найденная точка принадлежит обоим отрезкам.

1. Уравнение прямой AB

Уравнение прямой, проходящей через две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек A(-1; -3) и B(3; 1):

$\frac{y - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{x - (-1)}{3 - (-1)}$

$\frac{y + 3}{4} = \frac{x + 1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$y + 3 = x + 1$

Выразим $y$:

$y = x - 2$

2. Уравнение прямой CD

Аналогично найдем уравнение прямой для точек C(0; 4) и D(3; -2):

$\frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 0}{3 - 0}$

$\frac{y - 4}{-6} = \frac{x}{3}$

Умножим обе части на -6:

$y - 4 = \frac{-6x}{3}$

$y - 4 = -2x$

Выразим $y$:

$y = -2x + 4$

3. Координаты точки пересечения

Чтобы найти общую точку, решим систему уравнений, приравняв выражения для $y$:

$x - 2 = -2x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + 2x = 4 + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из уравнений (например, в первое):

$y = x - 2 = 2 - 2 = 0$

Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами (2; 0).

4. Проверка принадлежности точки отрезкам

Чтобы точка пересечения принадлежала отрезкам, ее координаты должны находиться между координатами концов каждого отрезка.

Для отрезка AB с концами A(-1; -3) и B(3; 1) и точки (2; 0):

Проверка по оси x: $-1 \le 2 \le 3$. Условие выполняется.

Проверка по оси y: $-3 \le 0 \le 1$. Условие выполняется.

Следовательно, точка (2; 0) лежит на отрезке AB.

Для отрезка CD с концами C(0; 4) и D(3; -2) и точки (2; 0):

Проверка по оси x: $0 \le 2 \le 3$. Условие выполняется.

Проверка по оси y: $-2 \le 0 \le 4$. Условие выполняется.

Следовательно, точка (2; 0) лежит на отрезке CD.

Поскольку точка (2; 0) принадлежит обоим отрезкам, она является их точкой пересечения.

Ответ: (2; 0)