Номер 1301, страница 278 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1301, страница 278.

Условие.

1301. Постройте отрезки $AB$ и $CD$ и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если $A(-5; -2)$, $B(1; 4)$, $C(-3; 2)$, $D(2; -3)$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезки, затем определим координаты их точки пересечения и, наконец, проверим, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам. Построение в системе координат послужит графическим подтверждением решения.

Нахождение координат точки пересечения

1. Уравнение прямой AB.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек $A(-5; -2)$ и $B(1; 4)$:

$\frac{y - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{x - (-5)}{1 - (-5)}$

$\frac{y + 2}{6} = \frac{x + 5}{6}$

Отсюда получаем уравнение прямой AB: $y = x + 3$.

2. Уравнение прямой CD.

Подставим координаты точек $C(-3; 2)$ и $D(2; -3)$:

$\frac{y - 2}{-3 - 2} = \frac{x - (-3)}{2 - (-3)}$

$\frac{y - 2}{-5} = \frac{x + 3}{5}$

Домножим на $-5$: $y - 2 = -(x + 3)$, откуда получаем уравнение прямой CD: $y = -x - 1$.

3. Координаты точки пересечения прямых.

Для нахождения точки пересечения решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} y = x + 3 \\ y = -x - 1 \end{cases}$

Приравниваем выражения для $y$: $x + 3 = -x - 1$.

$2x = -4 \Rightarrow x = -2$.

Подставляем $x = -2$ в первое уравнение: $y = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, прямые пересекаются в точке M с координатами $(-2; 1)$.

4. Проверка принадлежности точки пересечения отрезкам.

Чтобы точка M$(-2; 1)$ была точкой пересечения отрезков, она должна лежать на каждом из них. Это означает, что ее координаты должны находиться между координатами концов каждого отрезка.

Для отрезка AB (A(-5; -2), B(1; 4)):

Проверяем координату $x$: $-5 \le -2 \le 1$. Условие выполняется.

Проверяем координату $y$: $-2 \le 1 \le 4$. Условие выполняется.

Следовательно, точка M$(-2; 1)$ принадлежит отрезку AB.

Для отрезка CD (C(-3; 2), D(2; -3)):

Проверяем координату $x$: $-3 \le -2 \le 2$. Условие выполняется.

Проверяем координату $y$: $-3 \le 1 \le 2$. Условие выполняется.

Следовательно, точка M$(-2; 1)$ принадлежит отрезку CD.

Поскольку точка M лежит на обоих отрезках, она является их точкой пересечения.

Построение отрезков

Для построения необходимо начертить систему координат, отметить точки $A(-5; -2)$, $B(1; 4)$, $C(-3; 2)$ и $D(2; -3)$, а затем соединить соответствующие пары точек отрезками. Графическое построение покажет, что отрезки AB и CD пересекаются в точке, координаты которой $(-2; 1)$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(-2; 1)$.