Номер 1308, страница 279 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1308, страница 279.

Условие.

1308. Даны координаты вершин прямоугольника $ABCD$: $A (-3; -1)$, $B (-3; 3)$ и $D (5; -1)$.

1) Начертите этот прямоугольник.

2) Найдите координаты вершины $C$.

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение.

Решение 2.

1) Начертите этот прямоугольник.

Для построения прямоугольника ABCD на координатной плоскости сначала отметим заданные вершины: A с координатами $(-3; -1)$, B с координатами $(-3; 3)$ и D с координатами $(5; -1)$. Соединив точки A и B, получим сторону AB. Так как абсциссы этих точек одинаковы ($x = -3$), сторона AB является вертикальным отрезком, параллельным оси Oy. Соединив точки A и D, получим сторону AD. Так как ординаты этих точек одинаковы ($y = -1$), сторона AD является горизонтальным отрезком, параллельным оси Ox. Поскольку стороны AB и AD перпендикулярны, это подтверждает, что A, B, D — вершины прямоугольника.
Чтобы найти четвертую вершину C, проведем прямую через точку B, параллельную оси Ox (ее уравнение $y = 3$), и прямую через точку D, параллельную оси Oy (ее уравнение $x = 5$). Точка пересечения этих прямых C будет иметь координаты $(5; 3)$. Отметив точку C и соединив все вершины последовательно, получим искомый прямоугольник ABCD.

2) Найдите координаты вершины C.

В прямоугольнике ABCD противоположные стороны параллельны и равны. Так как из данных координат следует, что стороны прямоугольника параллельны осям координат, то координаты вершины C можно найти аналитически.
Абсцисса (координата $x$) точки C должна быть такой же, как у точки D, поскольку сторона DC параллельна стороне AB (и оси Oy). Следовательно, $x_C = x_D = 5$.
Ордината (координата $y$) точки C должна быть такой же, как у точки B, поскольку сторона BC параллельна стороне AD (и оси Ox). Следовательно, $y_C = y_B = 3$.
Таким образом, координаты вершины C: $(5; 3)$.
Ответ: C(5; 3).

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эта точка является серединой любой из диагоналей (AC или BD). Найдем ее координаты, используя формулу середины отрезка для диагонали AC с концами в точках A$(-3; -1)$ и C$(5; 3)$.
Пусть O$(x_O; y_O)$ — точка пересечения диагоналей. Её координаты вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$.
Подставим значения:
$x_O = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_O = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Следовательно, координаты точки пересечения диагоналей — (1; 1).
Ответ: (1; 1).

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Сначала найдем длины сторон прямоугольника AB и AD.
Длина стороны AB, соединяющей точки A$(-3; -1)$ и B$(-3; 3)$, равна модулю разности их ординат, так как отрезок вертикальный:
$AB = |y_B - y_A| = |3 - (-1)| = |4| = 4$ см.
Длина стороны AD, соединяющей точки A$(-3; -1)$ и D$(5; -1)$, равна модулю разности их абсцисс, так как отрезок горизонтальный:
$AD = |x_D - x_A| = |5 - (-3)| = |8| = 8$ см.
Теперь вычислим периметр (P) и площадь (S) прямоугольника.
Периметр: $P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Площадь: $S = AB \cdot AD = 4 \cdot 8 = 32$ см².
Ответ: Площадь равна 32 см², периметр равен 24 см.