Номер 1312, страница 280 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1312, страница 280.

Условие.

1312. Постройте окружность с центром в точке $M (3; 2)$, проходящую через точку $K (2; -1)$. Какие из точек принадлежат окружности: $A (2; 5)$, $B (0; 3)$, $C (1; -1)$, $D (3; -2)$, $E (4; -1)$, $F (5; 0)$?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала необходимо найти уравнение окружности. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию, центр окружности находится в точке $M(3; 2)$. Подставив координаты центра в общее уравнение, получаем: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = R^2$.

Окружность проходит через точку $K(2; -1)$. Это означает, что расстояние от центра окружности $M$ до точки $K$ равно радиусу $R$. Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя формулу расстояния между двумя точками: $R^2 = (x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2 = (2 - 3)^2 + (-1 - 2)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.

Таким образом, уравнение искомой окружности: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 10$.

Теперь проверим, какие из заданных точек принадлежат этой окружности. Точка принадлежит окружности, если ее координаты удовлетворяют уравнению окружности, то есть при подстановке координат в уравнение получается верное числовое равенство.

A (2; 5)

Подставляем координаты $x=2$ и $y=5$: $(2 - 3)^2 + (5 - 2)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$. Получаем $10 = 10$. Равенство верное, следовательно, точка A принадлежит окружности.

B (0; 3)

Подставляем координаты $x=0$ и $y=3$: $(0 - 3)^2 + (3 - 2)^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$. Получаем $10 = 10$. Равенство верное, следовательно, точка B принадлежит окружности.

C (1; -1)

Подставляем координаты $x=1$ и $y=-1$: $(1 - 3)^2 + (-1 - 2)^2 = (-2)^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$. Получаем $13 \neq 10$. Равенство неверное, следовательно, точка C не принадлежит окружности.

D (3; -2)

Подставляем координаты $x=3$ и $y=-2$: $(3 - 3)^2 + (-2 - 2)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 0 + 16 = 16$. Получаем $16 \neq 10$. Равенство неверное, следовательно, точка D не принадлежит окружности.

E (4; -1)

Подставляем координаты $x=4$ и $y=-1$: $(4 - 3)^2 + (-1 - 2)^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$. Получаем $10 = 10$. Равенство верное, следовательно, точка E принадлежит окружности.

F (5; 0)

Подставляем координаты $x=5$ и $y=0$: $(5 - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$. Получаем $8 \neq 10$. Равенство неверное, следовательно, точка F не принадлежит окружности.

Ответ: окружности принадлежат точки A (2; 5), B (0; 3) и E (4; -1).