Номер 1314, страница 280 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1314, страница 280.

Условие.

1314. Отметьте на координатной плоскости точки $M (2; 1)$, $A (1; -2)$ и $B (-2; 1)$. Проведите прямую $AB$. Через точку $M$ проведите прямую, параллельную $AB$, и прямую, перпендикулярную $AB$.

Решение.

Решение 2.

Задача состоит из нескольких шагов: построение прямой AB, а затем построение двух прямых, проходящих через точку M, одна из которых параллельна AB, а другая — перпендикулярна. Для решения задачи мы найдем уравнения этих прямых.

1. Отметьте на координатной плоскости точки М(2; 1), А(1; -2) и В(-2; 1). Проведите прямую АВ.

Для аналитического описания прямой AB найдем ее уравнение в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — смещение по оси Y.

Сначала вычислим угловой коэффициент $k_{AB}$ по координатам точек $A(1; -2)$ и $B(-2; 1)$:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{3}{-3} = -1$.

Теперь, зная угловой коэффициент, найдем $b$, подставив координаты одной из точек (например, A) в уравнение прямой:

$y_A = k_{AB} \cdot x_A + b$

$-2 = -1 \cdot 1 + b$

$-2 = -1 + b \implies b = -1$.

Таким образом, уравнение прямой AB — это $y = -x - 1$. На координатной плоскости эта прямая строится по точкам A и B.

2. Через точку М проведите прямую, параллельную АВ.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой $k_{\parallel}$ должен быть равен $k_{AB}$.

$k_{\parallel} = k_{AB} = -1$.

Уравнение параллельной прямой будет иметь вид $y = -x + c$. Эта прямая проходит через точку $M(2; 1)$, поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим их, чтобы найти $c$:

$1 = -1 \cdot 2 + c$

$1 = -2 + c \implies c = 3$.

Ответ: Уравнение прямой, параллельной AB и проходящей через точку M: $y = -x + 3$.

3. Через точку М проведите прямую, перпендикулярную АВ.

Условием перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) является то, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. То есть, $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$.

Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp}$:

$k_{\perp} \cdot (-1) = -1 \implies k_{\perp} = 1$.

Уравнение перпендикулярной прямой будет иметь вид $y = x + d$. Эта прямая также проходит через точку $M(2; 1)$. Подставим ее координаты, чтобы найти $d$:

$1 = 1 \cdot 2 + d$

$1 = 2 + d \implies d = -1$.

Ответ: Уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через точку M: $y = x - 1$.