Номер 1318, страница 280 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1318, страница 280.

Условие.

1318. Начертите на координатной плоскости треугольник $ABC$, если $A (-3; 2)$, $B (-1; 4)$, $C (2; 3)$. Постройте треугольник, симметричный данному относительно: 1) начала координат; 2) точки $P (2; 2)$. Найдите координаты вершин полученного треугольника.

Решение.

Решение 2.

Исходный треугольник $ABC$ имеет вершины с координатами $A(-3; 2)$, $B(-1; 4)$, $C(2; 3)$. Найдем координаты вершин треугольников, симметричных данному.

1) Симметрия относительно начала координат.
Если точка $M'(x'; y')$ симметрична точке $M(x; y)$ относительно начала координат $(0; 0)$, то ее координаты вычисляются по формулам: $x' = -x$, $y' = -y$.
Найдем координаты вершин $A_1$, $B_1$, $C_1$ нового треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно начала координат:
Для вершины $A(-3; 2)$: $x_{A_1} = -(-3) = 3$, $y_{A_1} = -2$. Координаты точки $A_1(3; -2)$.
Для вершины $B(-1; 4)$: $x_{B_1} = -(-1) = 1$, $y_{B_1} = -4$. Координаты точки $B_1(1; -4)$.
Для вершины $C(2; 3)$: $x_{C_1} = -2$, $y_{C_1} = -3$. Координаты точки $C_1(-2; -3)$.
Таким образом, полученный треугольник $A_1B_1C_1$ имеет вершины с координатами $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -4)$ и $C_1(-2; -3)$.
Ответ: $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -4)$, $C_1(-2; -3)$.

2) Симметрия относительно точки $P(2; 2)$.
Если точка $M''(x''; y'')$ симметрична точке $M(x; y)$ относительно точки $P(x_p; y_p)$, то точка $P$ является серединой отрезка $MM''$. Координаты точки $M''$ вычисляются по формулам: $x'' = 2x_p - x$, $y'' = 2y_p - y$.
В нашем случае $x_p = 2$ и $y_p = 2$. Найдем координаты вершин $A_2$, $B_2$, $C_2$ нового треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно точки $P(2; 2)$:
Для вершины $A(-3; 2)$: $x_{A_2} = 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7$, $y_{A_2} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$. Координаты точки $A_2(7; 2)$.
Для вершины $B(-1; 4)$: $x_{B_2} = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$, $y_{B_2} = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Координаты точки $B_2(5; 0)$.
Для вершины $C(2; 3)$: $x_{C_2} = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$, $y_{C_2} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Координаты точки $C_2(2; 1)$.
Таким образом, полученный треугольник $A_2B_2C_2$ имеет вершины с координатами $A_2(7; 2)$, $B_2(5; 0)$ и $C_2(2; 1)$.
Ответ: $A_2(7; 2)$, $B_2(5; 0)$, $C_2(2; 1)$.