Номер 1313, страница 280 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1313, страница 280.

Условие.

1313.Постройте окружность с центром в точке $A (-4; 0)$, проходящую че- рез начало координат. Скольким единичным отрезкам равен радиус этой окружности? Укажите координаты каких-нибудь двух точек, од- на из которых принадлежит кругу, ограниченному этой окружно- стью, а вторая находится вне его.

Решение.

Решение 2.

Скольким единичным отрезкам равен радиус этой окружности?

По условию задачи, центр окружности находится в точке $A(-4; 0)$. Также известно, что окружность проходит через начало координат — точку $O(0; 0)$.

Радиус окружности ($R$) — это расстояние от ее центра до любой точки, лежащей на окружности. Следовательно, радиус нашей окружности равен длине отрезка $AO$.

Для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $A(-4; 0)$ и $O(0; 0)$ в эту формулу, чтобы найти радиус $R$:

$R = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Таким образом, радиус окружности равен 4 единичным отрезкам. Для построения такой окружности в системе координат отмечают центр $A(-4; 0)$ и проводят окружность с радиусом 4.

Ответ: радиус окружности равен 4 единичным отрезкам.

Укажите координаты каких-нибудь двух точек, одна из которых принадлежит кругу, ограниченному этой окружностью, а вторая находится вне его.

Уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Для нашей окружности с центром в $A(-4; 0)$ и радиусом $R=4$ уравнение будет следующим:

$(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 = 4^2$

$(x + 4)^2 + y^2 = 16$

Точка с координатами $(x, y)$ принадлежит кругу, если расстояние от нее до центра не превышает радиус, то есть выполняется неравенство $(x + 4)^2 + y^2 \le 16$. Точка находится вне круга, если расстояние от нее до центра больше радиуса, то есть $(x + 4)^2 + y^2 > 16$.

1. Найдем точку, принадлежащую кругу.

Выберем произвольную точку, например, $B(-2; 1)$, и проверим, выполняется ли для нее условие $(x + 4)^2 + y^2 \le 16$:

$(-2 + 4)^2 + 1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Поскольку $5 \le 16$, неравенство верно, следовательно, точка $B(-2; 1)$ принадлежит кругу.

2. Найдем точку, находящуюся вне круга.

Выберем произвольную точку, например, $C(1; 1)$, и проверим для нее условие $(x + 4)^2 + y^2 > 16$:

$(1 + 4)^2 + 1^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26$.

Поскольку $26 > 16$, неравенство верно, следовательно, точка $C(1; 1)$ находится вне круга.

Ответ: точка, принадлежащая кругу: $(-2; 1)$; точка, находящаяся вне круга: $(1; 1)$.