Номер 1315, страница 280 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 46. Координатная плоскость. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1315, страница 280.

Условие.

1315. Отметьте на координатной плоскости точки $A (-7; 2)$ и $B (-3; -4)$. Пользуясь линейкой и угольником, проведите ось симметрии этих точек.

Решение.

Решение 2.

Ось симметрии двух точек $A$ и $B$ — это прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром. Чтобы построить ось симметрии для точек $A(-7; 2)$ и $B(-3; -4)$, нужно выполнить следующие действия.

1. Построение точек и отрезка.
На координатной плоскости отмечаем точки $A$ с координатами $(-7; 2)$ и $B$ с координатами $(-3; -4)$. Затем с помощью линейки соединяем эти точки, получая отрезок $AB$.

2. Нахождение середины отрезка.
Ось симметрии проходит через середину отрезка $AB$. Найдем координаты этой точки (обозначим ее $M$) как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$:
Координата $x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-7 + (-3)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Координата $y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, середина отрезка $AB$ — это точка $M(-5; -1)$. Отметим эту точку на координатной плоскости.

3. Построение перпендикуляра.
Используя линейку и угольник, проведем прямую через точку $M$ перпендикулярно отрезку $AB$.

• Приложим одну из сторон угольника, образующих прямой угол, к отрезку $AB$.
• К другой стороне угольника, образующей прямой угол, плотно приложим линейку.
• Зафиксировав линейку, будем сдвигать угольник вдоль нее до тех пор, пока первая сторона угольника (которая была приложена к $AB$) не пройдет через точку $M(-5; -1)$.
• Проведем прямую вдоль этой стороны угольника.

Эта прямая и есть искомая ось симметрии.

Для проверки правильности построения можно найти уравнение этой прямой. Угловой коэффициент прямой $AB$ равен $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - 2}{-3 - (-7)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$. Ось симметрии перпендикулярна $AB$, поэтому ее угловой коэффициент $k_{оси} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3}$. Зная, что прямая проходит через точку $M(-5; -1)$, ее уравнение будет $y - (-1) = \frac{2}{3}(x - (-5))$, что равносильно $y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}$.

Ответ: Осью симметрии точек $A(-7; 2)$ и $B(-3; -4)$ является серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Это прямая, проходящая через точку $M(-5; -1)$ перпендикулярно отрезку $AB$. Построение выполняется с помощью линейки и угольника, как описано выше.