Номер 1346, страница 290 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 47. Графики. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 1346, страница 290.

Условие.

1346. В каждую клетку квадрата размером $6 \times 6$ клеток вписали одно из чисел $-1, 0, 1$. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим квадрат размером $6 \times 6$ клеток. В каждой клетке записано одно из чисел: -1, 0, 1. Нам нужно определить, могут ли суммы чисел в каждой из 6 строк, в каждом из 6 столбцов и по двум главным диагоналям быть различными.

Всего мы рассматриваем $6$ (строки) $+ 6$ (столбцы) $+ 2$ (диагонали) $= 14$ различных сумм.

Давайте определим возможные значения для каждой из этих сумм. Каждая сумма (по строке, столбцу или диагонали) состоит из 6 слагаемых, каждое из которых может быть равно -1, 0 или 1.

• Минимально возможное значение суммы достигается, когда все 6 чисел равны -1. В этом случае сумма равна $6 \times (-1) = -6$.
• Максимально возможное значение суммы достигается, когда все 6 чисел равны 1. В этом случае сумма равна $6 \times 1 = 6$.

Таким образом, любая из этих 14 сумм $S$ должна быть целым числом в диапазоне от -6 до 6, то есть $-6 \le S \le 6$.

Найдем количество возможных различных значений, которые могут принимать эти суммы. Это все целые числа от -6 до 6 включительно: $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Количество таких целых чисел равно $6 - (-6) + 1 = 12 + 1 = 13$.

Итак, у нас есть 14 сумм, которые должны быть различными. Но при этом они могут принимать только 13 различных целочисленных значений (от -6 до 6).

Согласно принципу Дирихле (принципу ящиков), если 14 объектов (наши суммы) нужно распределить по 13 категориям (возможные значения), то по крайней мере два объекта попадут в одну и ту же категорию. Это означает, что как минимум две из 14 сумм обязательно будут равны.

Следовательно, невозможно, чтобы все 14 сумм (по строкам, столбцам и двум главным диагоналям) были различными.

Ответ: Нет, не могут.