Номер 1359, страница 304 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1359, страница 304.

Условие.

1359.Длина комнаты равна 725 см, а ширина – 375 см. Пол этой комнаты решили выложить одинаковыми плитками, имеющими форму квадрата. Какую наибольшую длину (в сантиметрах) может иметь сторона плитки, чтобы не было необходимости её резать? Сколько потребуется таких плиток?

Решение.

Решение 2.

Какую наибольшую длину (в сантиметрах) может иметь сторона плитки, чтобы не было необходимости её резать?

Чтобы плитки можно было уложить без разрезания, их сторона должна быть таким числом, на которое делятся без остатка и длина, и ширина комнаты. То есть, длина стороны плитки должна быть общим делителем чисел 725 и 375. Чтобы найти наибольшую возможную длину стороны, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел.

Для нахождения НОД(725, 375) разложим оба числа на простые множители:
$725 = 5 \cdot 145 = 5 \cdot 5 \cdot 29 = 5^2 \cdot 29$
$375 = 5 \cdot 75 = 5 \cdot 5 \cdot 15 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 3 \cdot 5^3$

Наибольший общий делитель равен произведению общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Общий множитель — это 5, а его наименьшая степень — 2.
НОД(725, 375) = $5^2 = 25$

Следовательно, наибольшая возможная длина стороны плитки — 25 см.

Ответ: 25 см.

Сколько потребуется таких плиток?

Зная, что сторона плитки равна 25 см, можно вычислить, сколько плиток поместится вдоль длины и ширины комнаты.

Количество плиток по длине комнаты:
$N_{длина} = \frac{725}{25} = 29$ плиток.

Количество плиток по ширине комнаты:
$N_{ширина} = \frac{375}{25} = 15$ плиток.

Общее количество плиток — это произведение количества плиток по длине и по ширине:
$N_{всего} = N_{длина} \times N_{ширина} = 29 \times 15 = 435$ плиток.

Ответ: 435 плиток.