Номер 1361, страница 304 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1361, страница 304.

Условие.

1361. Вася пытался разложить орехи на равные кучки, но каждый раз, когда он раскладывал их по 4, по 5, по 6, один орех оставался лишним. Сколько орехов было у Васи, если известно, что их было меньше, чем 100?

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — общее количество орехов у Васи.

По условию задачи, когда Вася раскладывал орехи на кучки по 4, 5 или 6, каждый раз оставался один лишний орех. Это можно записать в виде следующих соотношений:

• $N$ при делении на 4 даёт в остатке 1.
• $N$ при делении на 5 даёт в остатке 1.
• $N$ при делении на 6 даёт в остатке 1.

Из этих условий следует, что число $(N - 1)$ должно делиться на 4, 5 и 6 без остатка. Иными словами, $(N - 1)$ является общим кратным чисел 4, 5 и 6.

Чтобы найти все возможные значения для $(N - 1)$, найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим числа 4, 5 и 6 на простые множители:

• $4 = 2^2$
• $5 = 5$
• $6 = 2 \cdot 3$

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:

$НОК(4, 5, 6) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Значит, число $(N - 1)$ должно быть кратно 60. Возможные значения для $(N - 1)$ — это 60, 120, 180 и так далее.

Тогда возможные значения для $N$ можно найти, прибавив 1:

• Если $N - 1 = 60$, то $N = 60 + 1 = 61$.
• Если $N - 1 = 120$, то $N = 120 + 1 = 121$.
• и так далее.

По условию, количество орехов было меньше чем 100 ($N < 100$). Сравним найденные значения с этим условием:

• $61 < 100$ — это значение подходит.
• $121 > 100$ — это значение и все последующие не подходят.

Таким образом, единственное возможное количество орехов у Васи — 61.

Проверим:

• $61 \div 4 = 15$ (остаток 1)
• $61 \div 5 = 12$ (остаток 1)
• $61 \div 6 = 10$ (остаток 1)

Все условия выполнены.

Ответ: 61 орех.