Номер 1363, страница 304 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Упражнения для повторения курса математики - номер 1363, страница 304.

Условие.

1363. Дана дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ – натуральные числа. Увеличится или уменьшится эта дробь, если:

1) числитель увеличить на несколько единиц;

2) знаменатель увеличить на несколько единиц?

Решение.

Решение 2.

1) числитель увеличить на несколько единиц

Дана отрицательная дробь $-\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Увеличим числитель $a$ на некоторое натуральное число $c$. Новая дробь примет вид $-\frac{a+c}{b}$. Чтобы сравнить исходную и новую дроби, сначала сравним их положительные части (модули): $\frac{a}{b}$ и $\frac{a+c}{b}$.

Так как $c$ — положительное число, а знаменатель $b$ также положителен, то $\frac{a+c}{b} = \frac{a}{b} + \frac{c}{b}$. Поскольку $\frac{c}{b} > 0$, то $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} > \frac{a}{b}$. Таким образом, мы имеем неравенство: $\frac{a+c}{b} > \frac{a}{b}$.

Теперь вернемся к отрицательным дробям. При сравнении отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Или, другими словами, при умножении неравенства на -1, знак неравенства меняется на противоположный. Из неравенства $\frac{a+c}{b} > \frac{a}{b}$ следует, что $-\frac{a+c}{b} < -\frac{a}{b}$. Следовательно, новая дробь меньше исходной.

Ответ: дробь уменьшится.

2) знаменатель увеличить на несколько единиц

Увеличим знаменатель $b$ на некоторое натуральное число $d$. Новая дробь примет вид $-\frac{a}{b+d}$. Сравним исходную дробь $-\frac{a}{b}$ и новую $-\frac{a}{b+d}$. Сначала снова сравним их модули: $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{b+d}$.

Так как $b$ и $d$ — натуральные числа, то $b+d > b$. Для положительных дробей с одинаковым числителем ($a > 0$) верно правило: чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби. Следовательно, $\frac{a}{b+d} < \frac{a}{b}$.

Теперь умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $-\frac{a}{b+d} > -\frac{a}{b}$. Следовательно, новая дробь больше исходной.

Ответ: дробь увеличится.